20世紀以來中國數學課程標準中算術與代數表征功能的變化及啟示

沈 陽，張晉宇，李 娜，鮑建生

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20世紀以來中國數學課程標準中算術與代數表征功能的變化及啟示

沈 陽1，張晉宇2，3，李 娜1，鮑建生1，3

（1．華東師范大學 數學科學學院，上海 200241；2．華東師范大學 教師教育學院，上海 200062；3．上海市“立德樹人”數學教育教學研究基地，上海 200241）

根據《20世紀中國中小學課程標準·教學大綱匯編（數學卷）》和21世紀以來的課程標準中算術與代數的內容，圍繞數學表征的表達交流、操作轉換、建模應用3種功能，采用歷史研究方法，編碼分析1902—2017年中國中小學數學課程文件（標準）中算術與代數表征的變化趨勢．研究結果表明：數學表征的功能會隨著課程標準的變化而變化，并且3種表征功能的側重點和相互關聯性在不同學段也有不同的特點．表達交流功能在小學階段依賴于建模應用，而初高中階段依賴于操作轉換；操作轉換功能在3個學段均處于主導地位；建模應用功能在小學、初中階段并沒有受到重視，而在高中階段新課程改革后逐步受到重視．

數學表征；表征功能；算術；代數

1 引言

表征（representation）是認知心理學中的一個重要概念，意指知識在學習者頭腦中的呈現和表達方式[1]．數學表征既可指人腦內部心智活動的表現，又可指思維活動的外在表現形式；既可指表達數學關系的過程，又可指數學關系的表達形式；既可指進行數學交流的工具，又可指進行數學交流的內容．而且數學表征有助于學生理解概念、關系或關聯自己解決問題過程所使用的數學[2-3]，也有助于學生組織思維，更具體地認識數學概念及反思[4]，所以一直以來數學表征都受到國際上的普遍重視．比如丹麥KOM項目中將數學表征視為八大能力之一[5]，學生能力國際評價項目PISA（Program for International Student Assessment）在PISA2000—PISA2015都將數學表征作為數學能力之一[6-10]，全美數學教師理事會NCTM（National Council of Teachers of Mathematics）中將數學表征作為十大能力之一[4，11]．因此，依據《20世紀中小學課程標準·教學大綱匯編（數學卷）》，探討數學表征隨數學課程改革的歷史演變，從中發現規律并尋求啟示．

2 研究問題及方法

這里主要研究以下兩個內容：一是構建數學表征功能的分析框架；二是考察20世紀中國中小學數學課程標準中數學表征的變化趨勢及其成因．希望通過這一研究，發現數學表征在不同年代和不同學段的發展規律，為理解新課標及后續的修訂提供參考．

采取的主要研究方法是“歷史研究”（historical research）．歷史研究法的目標是通過系統地搜索和組織數據，以更好地了解歷史現象及其可能的因果關系[12]．一般歷史研究的過程包括甄別史料來源，考證歷史證據和解釋歷史數據3個步驟．因為中國是中央集權的國家，國家頒布的數學教學大綱，以及與之適應的考試大綱享有極高的權威[13]，而這里的研究對象為《20世紀中國中小學課程標準·教學大綱匯編（數學卷）》以及21世紀以來的課程標準，是國家給出的統一標準，故研究對象具有一定的可靠性，所以只進行第三個步驟．

在解釋歷史數據過程中采用質性研究和定量研究相結合的研究方法．定量研究是根據編碼框架進行編碼而獲得數據，質性研究是解釋定量研究的結果，這種方法被稱為順序—解釋型研究設計（sequential-explanatory research design）[14]．故采用順序—解釋型研究設計法．

3 研究過程

3.1 數學表征概述及其功能性定義

數學表征內涵豐富且復雜[15]，一般從對數學知識的認知角度和數學表征的功能兩個維度進行定義，而第一個維度大致集中在內部表征、外部表征及表征轉換3個方面[16]．內部表征是指個體對所學知識的心理構造，一般不容易被觀察到[17]，例如心理學認為知識表征指人在自己的工作記憶和長時記憶中對信息的儲存、表示和再現方式[18–19]．外部表征是一種物理的、可觀察的行為或對象，例如《數學教育百科全書》中描述數學表征是可見的、有形的產品，如圖表、數字、圖形、具體實物或教具、物理模型、數學表達式、計算機屏幕上的描述或者計算機編碼等，代表數學思想和數學關系[20–21]．表征轉換最初由Richard Lesh提到，后丹麥數學教育家Mogens Niss也強調其作用，認為數學表征能力是指理解、詮釋和辨識數學對象、現象和情境的多種表征，能了解和使用表征之間的關系并掌握不同表征之間的優勢和限制，能在各類表征中進行選擇和轉換[5，22]．徐斌艷等人對數學表征和轉換能力分別定義，認為數學表征是用某種形式，如書面符號、圖形（表）、情境、操作性模型、文字（包括口頭文字）等，表達要學習的或處理的數學概念或關系，以便最終解決問題；數學轉換能力是指在數學問題解決過程中，保持數學問題的某些不變性質，改變信息形態，將要解決的問題進行數學轉化[16，23]．從功能角度出發，具有代表性的是NCTM中對數學表征的定義，美國NCTM在2000年出版的《學校數學教育的原則和標準》（）中，首次加入表征的標準，認為所有學生都能夠創造和利用各種數學表征來組織、記錄和交流數學觀念，能選擇、應用和互換各種數學表征方法解決問題，會應用表征模擬并解釋物理社會和數學中的現象[4]．鮑建生等人通過Bruner和Lesh對表征類別歸納出兩種功能：溝通工具以及思維的材料．作為溝通工具，是用特定的表征形式來描述活動經驗；作為思維的材料，則是用表征來代表物化的數學概念或內蘊化的活動類型，對表征所代表的意義進行思維操作[17]．

“實用主義”不僅是中國數學的一大傳統，而且也成為中國數學教學研究的一種重要的價值選擇[24]，又由于課題需要，需要對《20世紀中小學課程標準·教學大綱匯編（數學卷）》和21世紀以來的課程標準（小學、初中包括01、11版，高中包括03、17版）的各學段以及各內容領域進行分析（這里只針對算術與代數部分），所以從表征功能的角度出發，對其教學內容進行分析，探索20世紀中小學算術與代數表征的發展趨勢，試圖從中得到一些啟示．上述文獻中鮑建生總結的兩種表征的功能其實可以歸納為表達交流和操作轉換，NCTM中還描述了建模應用功能．在此基礎上，將表征從功能的視角分為表達交流、操作轉換和建模應用，表達交流功能是指利用符號（書面符號、口語表達）以及圖形圖表進行溝通，操作轉換功能是指計算（度量）、邏輯推理的思維操作或實物（算盤）、計算機（計算器）等模型操作，建模應用功能是指利用數學知識去解決實際生活情境中的問題．

3.2 數學表征功能性框架

表1即表征功能性框架，包括三級指標：第一級指標是按照表征的功能進行分類，包括表達交流，操作轉換和建模應用；第二指標是對表征功能內涵的描述：表達交流包括符號表達和圖形圖表，操作轉換指思維操作和模型操作，建模應用即情境應用；第三級指標是根據文本《20世紀中國中小學課程標準·教學大綱匯編（數學卷）》和21世紀以來的課程標準的內容以及第二指標進行更為具體的分類，符號表達包括書面符號、口語表達，圖形圖表包括圖形、圖表的認識或繪制，思維操作包括計算（度量）以及邏輯推理，模型操作包括實物模型（算盤）、計算器的使用以及計算機的模擬，情境應用包括情境問題的解決和對數學知識的實際應用．

表1 數學表征功能性框架

3.3 編碼流程

表征功能編碼框架制定及編碼流程如圖1所示．

圖1 表征功能編碼框架制定及編碼流程

圖1（左）是表征功能編碼框架制定的流程圖，首先3人分別閱讀文本并各自編碼，在進行多次討論之后統一一級指標，之后根據確定的一級指標分別重新編碼，再在多次討論后確定編碼．圖1（右）是各個學段的數學表征功能編碼的流程圖，首先確定編碼框架中第四指標，再編碼文件的部分內容，并且在多次討論后重新編碼，最后隨機選取部分年份編碼并進行信度分析．其中第四指標是根據第三指標對《20世紀中國中小學課程標準·教學大綱匯編（數學卷）》的內容提取的關鍵詞，并且因年級、知識內容的不同而不同．編碼所得數據即第四指標關鍵詞在文本中所提次數．在編碼過程中，為了充分展現各個年份中的數學表征，遵循以下原則：若某年份的大綱有多個方案則遵循方案一；若某年份大綱中包括五年制和六年制則遵循六年制；若某年份大綱有文科理科之分則遵循理科，若有高低兩種標準的大綱則遵循高標準．并且編碼的最小單位為短句，以逗號為標準；編碼標準參照表中的詞若含有兩個含義，則編碼兩次，但是不超過兩次．

3.4 編碼信度

編碼的最后一步是對小學、初中及高中分別進行差異性檢驗來判斷編碼是否有效．首先分別對各學段隨機抽取6個年份重新編碼，再將所得的數據與原來編碼中所對應的數據利用SPSS進行成對樣本檢驗，其中小學、初中、高中的相關性系數如表2所示．

由表2可得，3個學段中隨機抽取的編碼與原編碼的相關性系數都較高，且顯著性水平均小于0.05，故兩次編碼數據顯著相關，而且其檢驗值的顯著性水平均大于0.05，故認為前后兩次編碼不存在差異．因此，編碼數據是可以信賴的．

4 研究結果及分析

4.1 小學和初中數學表征變化及分析

圖2、圖3所示，小學算術和初中代數的表征折線圖呈現非常相似的趨勢．整體上看，小學階段的表達交流功能伴隨建模應用的變化而變化，到初中階段后則趨于伴隨操作轉換的變化，說明學生表達交流能力的訓練在小學階段更多地依賴于實際應用，而到初中后則依賴于思維操作和模型操作．從時間維度上大致可以分為3個階段：1923年之前，注重德育到杜威實用主義的引入，表征功能幾乎保持不變；1923—1978年之間，引進國外教育理念，到學習蘇聯，再到注重雙基，有兩次較為劇烈的波動，尤其體現在操作轉換功能方面；1978年以后，中國特色的基礎教育改革穩步推進，表征功能慢慢趨向于穩定．

表2 表征功能編碼的成對樣本t檢驗統計

圖2 小學數學算術表征功能

圖3 初中數學代數表征功能

（1）第一階段（1923年之前）．

1923年之前分為兩個時期，辛亥革命之前的清朝以及1912年之后建立的中華民國時期．前一時期只頒布了《壬寅學制》和《癸卯學制》，涉及內容極少．而在第二時期的1912年初，教育部成立，并以“注意道德教育，以實利教育、軍國民教育輔之，更以美感教育完成其道德”為教育宗旨[25]．在1914—1918年第一次世界大戰時期，帝國主義暫時放松了對中國的經濟侵略，以及1919年爆發的“五四”運動，促使國內出現了前所未有的教育改革運動，使得全國的教育有所發展[25]．在此期間，美國大教育家杜威（J. Dewey, 1859—1952）的教育思想通過蔡元培、黃炎培的介紹傳入中國，陶行知、鄭曉滄、胡適等中國學者對杜威的學說做了大量宣傳．且杜威于1919年來華后，在中國各地作巡回講學，將其實用主義教育理論在中國的傳播推向了高潮[26–27]，比如1922年公布的《壬戌學制》的指導思想就是杜威的實用主義，該學制即以美國學制為藍本的現代學制，也稱為六三三學制．所以1923年之前，雖然數學表征的3種功能均未體現變化，但為后一時期的變化做了鋪墊．

（2）第二階段（1923—1978）．

這一時期的小學和初中都以1952年為臨界點，前后分別有較大波動，將這段時期分為兩個階段，第一時期（1923—1952年）引進國外各種不同的教學學說以及20世紀初國際數學教育改革的進展信息；第二時期（1952—1978年）從1952年開始全面、系統地學習蘇聯，提出“學習蘇聯先進經驗，先照搬過來，然后再中國化”[28]，后在1963年大綱中強調基礎知識和基本技能的重要性．

第一時期（1923—1952）伊始，1923年的大綱在《學校系統改革令》的基礎上制定[29]，數學表征的表達交流、操作轉換以及建模應用功能都開始被重視．而1936年修訂的課程標準公布一年后抗戰就開始，中國教育為適應抗戰建國的需要對內容進行調整．文件《抗戰建國中各科的作業要項的設計》中表明要刪除與學生生活無關的問題，以國防上的實用為主，采用國防上的數字及軍事上的計算為習題資料，例如應用問題中“工程問題”改為“掘壕問題”“艦力問題”等[25]．所以當時3種功能均受到重視，只是操作轉換功能更為顯著．而又可能因為當時所需知識水平較低，故1941年大綱中小學的操作轉換功能大幅度上升，而初中只是輕微上升．1949年后，開始全面學習蘇聯，以蘇聯十年制學校的教學大綱為藍本[30]，實行凱洛夫的“知識中心”“課堂中心”“教師中心”教學系統．而教育部成立之后，調查學生負擔過重的原因之一是數理化三科教材內容多且編排不合理[31]．于是教育部開展座談會，得出以下原則：精簡的目的在于要求教學切實有效，而不是降低學生程度；數學教材盡可能與實際結合，首先要與理化兩科的學習結合，又要與經濟建設需要的科學知識相結合等[31]．所以當時小學、初中階段“52大綱”中表征的3個功能都降低了要求，并且首次提到關注基礎知識和技能訓練，強調數學內容的系統性和邏輯性[28]．

第二時期（1952—1978）在經歷“大躍進”之后，中央發布了“關于教育工作的指示”，在全國范圍內引起了教育改革運動，重點是學制和教學內容．由于課程內容改革力度過大，導致學生較重的學習負擔和教育質量的下降[32]．當時提出“半工（農）半讀”，并且政治教育和生產勞動教育被提到突出位置，比如課程計劃中包括“工農業基礎知識”，所以操作性要求都有所提高．1962年教育部發出《關于1962—1963年度中小學教學用書的通知》，將“初中算術”全部下放到小學[31]，而且人民教育出版社編寫1963年中小學數學教材就把“力求避免片面強調聯系實際而削弱基礎知識，注意基礎知識的充實和基本訓練的加強”作為編寫的指導思想[13]．因此所有算術都在小學完成，又更加注重基礎知識和基本技能，故在“63大綱”中，表征的操作轉換、表達交流和建模應用功能均有所提高，而初中階段就有所下降．但在1966—1976年期間，沒有統一的數學教學大綱，各省市等自擬編寫綱要編寫教材[30]，忽視雙基，導致全國教學質量大幅度下降[13]．

（3）第三階段（1978年之后）．

1976年之后，全國進入了全面整頓時期，總結國內外數學教材改革的經驗教訓，比如20世紀70年代美國在“新數學”運動失敗后又主張“回到基礎”[27]，于是中國“78大綱”在“63大綱”的基礎上進行內容的更新，強調加強雙基．1985年教育部總結初中教育指出學生負擔較重，所以在“88大綱”中各表征功能有所下降．到21世紀，“01標準”強調“自主、合作、探索、創新”，內容上新增設了“實踐與綜合”領域[28]，注重創設數學學習的情境，但并未強調數學雙基教學，淡化了對基礎知識和基本技能的重視[27]，所以當時建模應用功能有所上升，而操作轉換功能有所下降．后對“01標準”實施狀況調查發現新的教學方式使學生的兩極分化現象出現在小學低年級等，故修訂后的“11標準”回歸“雙基”并延伸，明確提出“四基”：義務教育階段的數學學習，使學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗[28]．所以這里操作轉換功能又有所回升，而建模應用功能有所下降．不過總體上3種功能慢慢趨于平衡．

4.2 高中數學表征變化及分析

高中數學代數表征功能如圖4所示．歷年高考錄取人數如圖5所示．

圖4 高中數學代數表征功能

圖5 歷年高考錄取人數

高中數學表征的建模應用功能的折線圖與高考錄取人數折線圖十分相似，呈上升趨勢，而且表達交流功能伴隨著操作轉換的變化而變化，總體上也呈上升趨勢．時間維度上分為兩個階段：第一階段（1999年之前）操作轉換和表達交流功能波動非常大，并以1963年為平衡點上下浮動，而“63大綱”是多數數學教育家公認的比較完善的大綱；應用功能在這個階段基本沒有受到重視．這一階段的1949年前，各地高中數學教材混亂，程度參差不齊，故從1949年后開始討論．第二階段（1999年之后），高中數學表征的3個功能都迅速上升，尤其在建模應用層面持續受到重視．

（1）第一階段（1999年之前）．

第一階段前期（1949—1978），也就是新中國成立初期，高中繼續沿襲高校聯合招生、委托招生的辦法，1950年和1951年各大區高等學校采取聯考聯招，到1952年，全國普通高等學校開始采用統一考試招生的辦法，直到1965年皆實行全國統一招生考試，這段時間高中招生工作是由省市等和高等學校分別處理，并且特別強調政治掛帥和政治路線，對文化水平方面并不重視．而且在20世紀50年代中葉，由美國發起的數學教育現代化運動，直至面向21世紀的教育改革，其中心是數學課程的改革[33]．在這樣的背景之下，表征的3個功能均上下浮動很大．1966年《人民日報》發表社論指責高等學校招生考試辦法“基本上沒有跳出資產階級考試制度的框框，不利于更多地吸收農民兵革命青年進入高等學校，這種考試制度必須改革”．當時不僅取消了高考，而且也導致了大學停止招生達4年之久．1970年開始，高校開始招收“工農兵學員”．1971年的《全國教育工作紀要》指出：“大專院校招生的主要對象是具有二~三年以上實踐經驗的優秀的工農兵，一般應有相當于初中以上文化．”1977年恢復高校招生考試制度，文件《關于1977年高等學校招生工作的意見》規定：“廢除推薦制度，在政審合格的前提下，采取文化考試、擇優錄取的方法招收大學新生．”[34]所以在1963之后，直到1978年才出高中新課標．

第一階段后期（1978—1999），教育部針對數學課程內容與要求太低的狀況以及國家建設4個現代化的需要，提出數學課程內容現代化的問題，對數學課程的內容、選擇性、編排方式等進行了探索和實踐[28]．于是在“78大綱”中增加了許多現代化的數學課程內容，導致數學課程內容太難，與當時學生的基礎和師資不相符合．之后的十幾年，就圍繞“78大綱”進行減少內容、降低難度的調整．但由于高等教育資源嚴重匱乏，升學率成為社會乃至部分教育主管部門評價中學教育的關鍵指標．為了克服片面追求升學率和越來越嚴重的應試教育傾向，1980年中期又對高考終生制度進行試驗和改革，比如：定向招生、委托代培招生，推薦考試等．1990年初，人們越來越多使用“應試教育”來概括高考制度下的基礎教育，“素質教育”概念也逐漸流行[34]．所以雖然表征的表達交流功能和操作轉換功能波動大，但建模應用功能慢慢得以重視．

（2）第二階段（1999年之后）．

這一時期，表征的表達交流、操作轉換以及建模應用功能都迅速上升，開始重視數學知識與實際問題的聯系，也為適應時代發展對人才素質提出的新要求．高中教育課程是義務教育階段后普通高級中學的主要課程，是為學生的可持續發展和終身學習創造條件．1999年教育部出臺《面向21世紀教育振興行動計劃》，基于解決經濟和就業問題，擴大普通高校本專科院校招收人數，高校開始趨向“大眾教育”，從圖5也可以看出高考錄取人數在20世紀開始逐年遞增．但是對于高校優勢教育資源的競爭激烈程度有增無減．多年來所批判的應試教育傾向，高考是主要誘因，升學壓力下，教師的題海戰術導致學生的學業負擔增加也成為一個問題．高考制度的擇優原則本身就賦予它競爭的屬性，這也是中國基礎教育多年來陷入片面追求升學率的泥沼而無法自拔的原因．高考作為主導基礎教育的中心，數學課程標準作為指導教材編制、教學實施、以及教學評價的唯一標準，如何發揮高考維護社會公平、選拔高等學校合格新生的同時，減少它對中學教育的負面影響成為人們關心的重要問題．03版和17版數學課程標準都要求把數學探究和數學建模滲透在數學課程中，這應該是導致3個功能大幅度提高的重要原因．其中17版從數學素養的角度評價分析學生成就，并且將課程分為必修、選擇性必修和選修課程，區分了不同程度學生的要求，對于共同要求和選擇性有了一定的平衡．但因為對數學實踐情境、數學探究活動及數學建模的強調，又導致了數學表征以及表征之間相互轉換方面要求的提高，所以如何平衡時代發展產生的新知識與核心知識尤為重要．

5 討論與結論及啟示

針對文本《20世紀中國中小學課程標準·教學大綱匯編（數學卷）》從數學表征的功能角度進行編碼分析，并尋找文獻及史料作為依據來解釋數據．結果表明數學表征的功能隨課程標準的變化而變化，并且3種表征的側重點和相互關聯性在不同學段有不同特點．具體而言，小學階段的學生在表征的表達交流方面主要是通過情境問題和實際應用來培養的，而初高中學生的表達交流能力則是通過較為抽象的思維操作和模型操作來培養的；操作轉換在3個學段均起到主導作用；至于數學表征的建模應用功能，在小學、初中階段并沒有受到足夠重視，在高中階段新課程改革后才逐步受到重視．所以學生的教學應該隨學段的不同而在表征方面有不同的側重點，而且需要重視數學建模功能在培養學生數學素養的重要性．當然，由于各表征功能在不同時期會因時代的變化而有不同的需求，于是把握新知識與核心知識之間的平衡顯得非常重要．

研究尚存一些不足之處：首先表征在語義學、心理學等不同領域有不同的內涵，這里僅從教育領域的視角出發分析表征的功能性指標；其次，研究涉及的歷史材料主要圍繞課程標準，而沒有對教科書進行比較分析．因此結論具有一定的局限性．

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Arithmetic and Algebra Representation Function in Mathematics Curriculum Standards in China since the 20th Century: Its Change and Enlightenment

SHEN Yang1, ZHANG Jin-yu2, 3, LI Na1, BAO Jian-sheng1, 3

(1. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China;3. Shanghai Research Base for School Mathematics Education, Shanghai 200241, China)

On the basis of arithmetic and algebra inand the curriculum standards since the 21st century, the variation trend of the arithmetic and algebraic representation in Chinese primary and secondary school mathematics curriculum standards from 1902 to 2017 was investigated using the historical research method and coding-analysis by focusing on three functions of mathematical representation (i.e., expression communication, operational transformation and modelling application. Results showed that, the function of mathematical representation changes as the curriculum standard changes. Moreover, the emphasis and correlation among three representation functions also had different features in different stages. Particularly, the function of expression communication was depended on the modelling application in the primary school stage, but the operational transformation in the middle and high school stage. The function of operational transformation was dominant in three stages. The function of the modelling application was not taken seriously in the primary school and junior high school. However, more attention had been paid to the high school stage since the new curriculum was reformed.

mathematical representation; representation function; arithmetic; algebra

2019–03–16

教育部人文社會科學重點研究基地重大項目——中國學生數學素養測評研究（16JJD880023）；上海高校“立德樹人”人文社會科學重點研究基地——華東師范大學數學教育教學研究基地項目（A8）

沈陽（1992—），女，浙江東陽人，博士生，主要從事數學課程與教學論研究．

沈陽，張晉宇，李娜，等．20世紀以來中國數學課程標準中算術與代數表征功能的變化及啟示[J]．數學教育學報，2019，28（3）：12-17．

G423.07

A

1004–9894（2019）03–0012–06

[責任編校：周學智、張楠]