從系統的觀點看一元二次方程的解法教學設計

王紅權，李 馨

?

從系統的觀點看一元二次方程的解法教學設計

王紅權1，李 馨2

（1．杭州市基礎教育研究室，浙江 杭州 310003；2．杭州市青春中學，浙江 杭州 310003）

從知識的發生和發展的視角，從系統的觀點分析一元二次方程不同解法的內在聯系，需要突出降次解法中的轉化思想，基于學生的認知基礎，把配方法作為解一元二次方程解法的重點方法，這是合理的，但這還不夠，還需要用解一元多項式方程之因式分解降次的思想來統一認識其他的解法，為學生今后學習奠基，讓學生體會與方程研究相關的數學文化．

系統觀點；一元二次方程；配方法；因式分解；教學設計

“解方程是好的數學”[1]，教好方程事實上就是要讓學生明白什么是“好的數學”．方程教學的首要任務是學習解具體的方程，同時感悟解方程過程中所承載的數學思想和方法．具體地說，如何處理好一元二次方程的解法教學，作為教師首先要理解教材對方程內容的編排，明確不同方程的教學在不同學段所要表達的不同思想方法，也就是說，不同的方程教學具有完全不同的價值取向；其次還要了解多項式方程解決的歷史發展，從解具體方程到形成伽羅瓦理論，再到解決一系列古典難題的過程中所展示的人類理性文明的一次又一次勝利．所以在這個意義上說，這個單元學習的知識是全新的，學習的方法是陌生的，學習的目的也迥然不同于以前．作為初中末端知識的一元二次方程教學需要在平方根概念的基礎上設計教學，更要在思想方法上為將來學習解復雜方程解法和方程理論奠基．

1 教學內容分析：數學視角

一元二次方程的教學位于初中方程知識教學的末端，學生已經經歷了學習方程的概念、方程根的概念，具備解一元一次方程和二元一次方程組的經驗，同時也初步體會了方程作為刻畫某些實際問題的模型所體現出來的優越性．

一元一次方程的教學一般安排在7年級上學期，在學習了實數和代數式的運算后．這樣安排的目的有3個方面．首先，體現實數和代數式運算及其運算律在解方程時所展示的統一性，讓學生感受算術和代數的本質區別；其次，在歸納解決問題一般步驟的過程中，滲透算法思想，進一步強化規則的重要性；第三，方程作為模型的表達合理性和普適性[2]．

二元一次方程組的教學一般安排在7年級下學期，并不安排在一元一次方程后教學．這主要是因為兩者在教學中所承載的功能不同所致，如果把兩者安排在前后一起教學，有可能會沖淡解二元一次方程組教學所承載的處理多元問題的思想（消元）．這種思想在初中階段是其它數學內容所無法替代的，所以二元一次方程組解法教學的目的不單純是得到解，而要在這個過程中感知消元思想的意義，把一個多元問題轉化為已經學過的一元問題．

對于一元二次方程的教學，教材一般的教學順序安排為：引入→解法→根與系數關系（當前課標為選學）→應用，一元二次方程的引入方法與前面所學的方程類型類似．通過現實問題引入研究對象，讓學生理解一元二次方程是刻畫某些實際問題的模型，體會學習的必要性，讓學生體驗到一元二次方程應用的廣泛性．和其它方程的引入類似，并沒有給出這章內容的研究思路和方法，如：從什么視角來研究的？研究的一般方法是什么？研究方法中哪些具有局限性，哪些具有一般性？而這些問題的回答都需要建立在解法教學的基礎上．通過解法的適當教學，不僅能回答這些問題，而且可以進一步發展學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養，實現解法教學的育人功能．如果沒有用系統和整體的觀念來設計解法教學，學生難以體會求解方程的因式分解降次的一般觀念，本內容教學的數學育人功能就會打折扣．

初中階段講數系的擴充常常用生活的需要來解釋，或者從度量的視角來闡述，這種說理的途徑很難講清楚數系擴充的內在動力．只有回到數學內部的需要這條路子上來，從解方程的需要來看這種擴充，才會變得自然和順利．因此，在方程內容的教學中，補充方程求解研究與數系擴充的聯系，有利于學生體會數學內容的本質關聯性，體會數系擴充的數學文化內涵．

2 數據統計與分析結果

2.1 從系統的觀點分析本內容的教學系統

系統觀點也就是整體的觀點、聯系的觀點，即要素與要素、要素與相關要素、要素與環境3方面的關系．從系統的觀點分析該內容的教學，得到如下結論：一元二次方程的“要素”是方程所對應的系數和解；從教學的視角看“相關要素”是“4種解法”的關聯，從一元二次方程內在的視角看，是根與系數的關聯（求根公式）；“環境”之一是教學目標和學習者目的以及考試綱要3者之間的關聯；“環境”之二是數學理解、學生基礎和教法之間如何三位一體；其功能結構是建立求解一元二次方程的求根公式，更為一般的功能結構是構建解決高次方程的一般模式（分解降次），這一功能需要由要素、結構和環境3者共同決定，圖1表明了它們之間的關系．

圖1 一元二次方程要素與結構及環境關系

2.2 從整體和聯系的觀點看4種解法的教學設計

該單元的解法教學介紹了直接開方法、配方法、公式法和因式分解法，其中直接開平方法由平方根的定義而來，所有教材都首先介紹，符合初中生認知的一般規律，配方法作為直接開平方法的進一步也是順理成章的事，由此導出求根公式，獲得解決一元二次方程的一般公式解，是理性思維的結果．人類探索方程的歷史清楚地表明：從人類獲得一元二次方程公式解的那一刻起，數學家的下一個目標是更高次方程的公式解．教學中如果沒有這樣的疑問設計是遺憾的．在數學教育中，強調其思想本源“以法通類，以類相從”[3]．這為介紹因式分解法的必要性和普適性提供基礎，分解降次是解決更高次方程的一般思路．但應該注意到因式分解法的技巧性，需要在教學設計時把握“度”，避免陷入技巧的泥潭．

由此，從整體和聯系的角度，從代數運算視角分析4種解法的聯系，可以得到一元二次方程解法的邏輯結構聯絡圖（如圖2）．

圖2 一元二次方程解法邏輯結構

從圖中不難發現，不同解法在教學設計中需要達成的教學功能有兩個：一是幫助學生建立解決一元二次方程的一般模式（求根公式）；二是滲透一種解決一元多項式方程求解的一般思想方法（分解降次）．當然建立求解“模式”和滲透一般思想，并不是要在教學過程中強調因式分解法，只是認為可以在傳統的課堂中增添一些“新”的元素，讓學生獲得更多的數學思考．

2.3 從層次結構的視角看解法的教學設計

縱觀初中階段整個解方程教學，3類方程解法的層次結構非常清晰．從技術操作層面看：一元一次方程解法教學的價值在于“驗證應用”，即運算律的應用，是算術和代數的分水嶺；二元一次方程組解法教學的價值在于如何處理多元問題，即消元思想的滲透（代入消元和加減消元）；一元二次方程解法教學的價值之一是如何處理高次問題，即降次思想的滲透（分解降次），其二是獲得一般方程的公式解，為問題的進一步推廣和深入研究提供樣例．從思想方法層面看：3類方程解法都具有很好的解題步驟，這是規則教學的良好素材，是滲透算法思想不可多得的好例子；3類方程最后其實都形成公式解，即都有解決問題的統一模式，為問題的進一步推廣提供可能（Cream法則、3次或4次方程求根公式），也是數學家的追求，是數學地思考問題的一種方法，值得滲透；數學解決問題的最高境界是形成理論體系，歷史表明伽羅瓦理論就是人們在尋求多項式方程公式解的過程中逐漸形成的一門數學分支，不僅解決了方程問題，同時解決了一系列古典問題（如三等分角問題），這種由具體解某個方程到歸納得出一般模式，繼而指導解決具體問題的思想方法就是數學的一般觀念．兩者相輔相成，共同促進學生對解方程教學的認知提升．

從技術層面看，補充：①范德蒙（A. T. Vandermonde，法國數學家）的解法，其解法的洞悉在于把方程的根用方程所有的解表示，史稱“根的對稱式表示法”：

更進一步，還可以補充：②拉格朗日（J. L. Lagrange，法國數學家）的解法．

用根的對稱式表達方程解和強調方程解與根的置換關系[5]，是人類在研究方程歷史上走出的正確的第一步，對日后形成方程理論意義非凡．

一般沒有必要補充古希臘時的所謂“幾何解法”[6]（當然作為拓展課呈現未嘗不可），不僅因為其解法具有很大的局限性（也得不到負根），而且繁復，在古希臘也僅僅是某些幾何量的某種關系的幾何表示，并非真正意義上的解代數方程，對推動方程理論的形成并沒有帶來積極的作用．

3 教學設計的若干注意點

3.1 認識4種解法的內在邏輯關系

國內使用的各版本教材中，用配方法（含直接開平方法）解一元二次方程部分內容的課時、例題數量、練習數量等信息如表1所示．浙教版和蘇科版教材比較強調配方法，這與調研結果較為一致，都設計了“探究”“合作學習”“做一做”等欄目，說明掌握配方法并非易事，部分教材對作業階段是否使用配方法未做出限制，強調用適當的方法．

表1 一元二次方程配方法（含直接開方法）各種教材內容細目

注：括號內的數字表示全部小題總數．

3.2 從中外數學史發展認識“配方法”的地位

3.3 高觀點下統一認識解法蘊含的思想方法

用因式分解降次體現了一元多項式方程解法研究的一般觀念，一個方程能不能解，最終都歸結為是否能分解成若干個一次式的積．用公式求解就是統一求解，歷史上眾多數學家為了尋求多項式方程的公式解而孜孜以求，因為一旦找到解決問題的公式，便一勞永逸．從一元一次方程到一元四次方程人們都找到了公式解，對于一般五次以上方程，人們也找到了統一的理論一并解決（其解不能用根號表示），而高次多項式方程的公式解的研究中，借助的就是這種因式分解降次的思想．因此，需要在思想觀念層面重視這種思想方法的教學，具體的教學策略用這種思想統一一元二次方程的4種解法，讓學生在學習不同解法的基礎上用高觀點統一地認識它們，實現更高層次的抽象，而不是過分訓練具體因式分解解法技巧，因為一般多項式的因式分解可以用插值法．

4 結束語

能否靈活運用教科書，超越教科書的固有設計，除了能正確理解教科書的設計意圖外，一個重要前提是教師對學科知識的把握[12]．相比于其它學科，數學教學可能更加依靠教材[13]．如果在教材設計中能夠強調系統地、整體地、聯系地看待問題，把握好整體性，那么教師在教學中就能對內容的系統結構了如指掌，心中有一張“聯絡圖”，從而把握教學大方向，就能使教學有的放矢．也只有這樣，才能使學生學到結構化的、聯系緊密的、遷移能力強的知識[14]．解法教學要實現知識、技能，整體、聯系的完美統一，教師必須避免將不同解法的講授割裂，應注重解法之間內在聯系的揭示，讓學生能更好理解、接受和掌握解法，真正把握數學知識的脈絡．需要老師對所教內容有系統地理解和整體地把握．這樣的教學設計在學生素養的生成、情感的培養以及思維習慣與方法的形成等方面發揮著獨特作用[15]．

從“會的”到“不會的”是創造學的機會；從系統的觀念到數學的一般方法是提供學的方法；從學會一種方法到回歸方法的本源是學會學的途徑；從一招一式到普遍聯系是學有所成的開始，教師應當為此而努力．

致謝：感謝杭州師范大學葉立軍教授的悉心指導．

[1] 韓雪濤．好的數學（方程的故事）[M]．長沙：湖南科學技術出版社，2012：1．

[2] 王紅權，應佳成．二元一次方程教學設計的幾點建議[J]．中學數學雜志，2016（12）：24-27．

[3] 孫旭花．中國數學教育優勢：隱性的代數教學設計模型[J]．數學教育學報，2016，25（5）：5-8．

[4] 陳蓓，喻平．哲學數域下的數學教育研究——“第二屆全國數學教育哲學暨數學教育高層論壇”綜述[J]．數學教育學報，2016，25（5）：99-102．

[5] 馮承天．從一元一次方程到伽羅瓦理論[M]．上海：華東師范大學出版社，2012：26．

[6] 范宏業．一元二次方程的六種幾何解法[J]．數學教學，2005（10）：25-27．

[7] 范良火．義務教育教科書·數學（八年級下冊）[M]．杭州：浙江教育出版社，2013：31-35．

[8] 沈志軍，洪燕君．“一元二次方程的配方法”：用歷史體現聯系[J]．教育研究與評論，2015（10）：38-42．

[9] 李迪．中國數學史簡編[M]．沈陽：遼寧人民出版社，1984：72．

[10] 歐幾里得．幾何原本[M]．蘭紀正，朱恩寬，譯．西安：陜西科學技術出版社，2003：48-49．

[11] 王紅權，任敏龍．穿越千年尋本源“四探”定理為育人[J]．中學數學教學參考，2016（8）：18-21．

[12] 嚴家麗．試析影響教師使用教科書水平的因素——基于15位小學數學教師的調查[J]．數學教育學報，2016，25（6）：51-55．

[13] 范良火，熊斌，李秋節．現代數學教育中的教材研究：“概念”“問題”和“方法”[J]．數學教育學報，2016，25（5）：1-4．

[14] 章建躍．從整體性上把握好數學內容[J]．中小學數學·高中版，2010（3）：封底．

[15] 呂世虎，吳振英，楊婷，等．單元教學設計及其對促進數學教師專業發展的作用[J]．數學教育學報，2016，25（5）：16-21．

A Systematic View on the Teaching of Quadratics Solving

WANG Hong-quan1, LI Xin2

(1. Hangzhou Institute of Fundamental Education Research, Zhejiang Hangzhou 310003, China;2. Hangzhou Qingchun Middle School, Zhejiang Hangzhou 310003, China)

In order to analyze the internal connection of different solutions to quadratic equations as a whole, and from the perspective of the formation and development of knowledge, we need to highlight the idea of reducing the power of x. Based on students’ cognitive ability, we considered the method of completing the square as being the key method to solve quadratics. This was considered proper, but not sufficient. It was necessary to unify the understanding of power reduction by factoring, which was often used in polynomial equations. Through the basic idea of solving single variable polynomial equations, students would acquire the foundations for future study, and experience the mathematical culture regarding equation research.

systematic view; unary quadratic equations; completing the square; factorization; didactical design

2019–01–29

2016年浙江省教研立項規劃課題——“一核二心”的初中數學發展性課堂教學設計研究（01475）

王紅權（1970—），男，浙江杭州人，特級教師，主要從事數學教學研究．

王紅權，李馨．從系統的觀點看一元二次方程的解法教學設計[J]．數學教育學報，2019，28（3）：94-97．

G633.6

A

1004–9894（2019）03–0094–04

[責任編校：張楠、陳漢君]