模型思想在小學數學教學中的應用

王曉君

摘? 要：《義務教育數學課程標準》（2011版）新增了核心概念——模型思想。在小學階段，這是第一次明確模型思想的基本理念和重要作用，這也是數學應用價值的體現。在實際教學過程中，需要探討如何引導學生經歷初步的數學建模的過程，體會、感悟數學模型思想。

關鍵詞：模型思想;鴿巢問題

模型思想是一種數學素養，也是數學基本思想之一?！爸两駷橹?，數學發展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的。通過抽象，在現實生活中得到數學的概念和運算法則，通過推理得到數學的發展，然后通過模型建立數學與外部世界的聯系”。

“抽象”“推理”“模型”這三個數學發展所依賴的思想在本文的課例《鴿巢問題》中都有滲透和體現，特別是“模型思想”。下面以此課為例，探討如何在教學中引導學生經歷初步的數學建模的過程，體會、感悟數學模型思想。

一、立足教材研究教材，深度挖掘教材中的模型思想

《鴿巢問題》是小學數學（人教版）第十二冊第五單元數學廣角的內容。鴿巢問題是經典的數學問題，又稱抽屜原理，解決問題的關鍵是能構建合適的鴿巢或者抽屜。從教材的編排上來看，通過實物讓學生理解鴿巢問題的特點，進而建立起模型，再運用模型去解決實際問題。鴿巢問題需要學生用規范的數學語言來表述結論，這些對學生而言都是非常抽象，不好理解的。教材在本單元安排了三個例題，例1借助“把4支鉛筆放進3個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆”的情境，讓學生明白這樣一個模型：如果把n+1個（n為非零自然數）物體任意放入n個抽屜，那么一定有一個抽屜里至少放進了2個物體。教材呈現了一一列舉法和假設法。例2介紹了另一種類型的鴿巢問題：“把7本書放進3個抽屜，不管怎么放，總有一個抽屜里至少放進3本書?！痹诖祟}中，側重假設法，并用有余數的除法的形式來表示平均分的過程：7÷3=2（本）……1（本），以此來表達出假設法的思路，類推解決一系列相似的問題，從而了解鴿巢問題的另一種模型：如果把a個物體任意放入b個抽屜，那么一定有一個抽屜里至少放進了（商+1）個物體（a>b，a不是b的倍數，且b為非零自然數）。例3是應用鴿巢原理。教材通過這三個例題的編排，目的是讓學生經歷“從具體情境中抽象出鴿巢問題—建立鴿巢問題的一般模型—推理出鴿巢模型的原理—運用鴿巢原理解決問題”的過程。

二、以學生為本，將“學生經歷模型思想形成的過程”作為課堂的落腳點

對于教師而言，既要使學生在觀察、操作中了解鴿巢原理的一般模型，能用鴿巢原理去解決問題，發展學生的思維，同時又不能讓學生按照公式來套用公式，這是非常難把握的。對于學生而言，“總有……至少……”的句式描述、理解起來都一樣的困難。雖說鴿巢原理在生活中有廣泛的應用，學生也常常能遇到身邊的實例，但卻很難找到實際問題與鴿巢問題之間的聯系。

本課我們將教學目標定位如下：

1. 使學生經歷“鴿巢原理”的探究過程，建立“鴿巢原理”的基本數學模型，并能運用模型來解決實際問題。

2. 通過動手操作和觀察、推理等數學活動，引導學生體會模型思想。

3. 感受數學與生活的緊密聯系。

教學重點：

經歷探究的過程，理解鴿巢原理，并能用于解決生活中的實際問題;

教學難點：

理解“總有”“至少”的含義，能用數學語言準備表達，構建鴿巢原理的數學模型。

根據這樣的教學目標和教學重難點，確定本節課的五個教學步驟，分別為：

（一）提出問題，初識模型

第一個教學環節，讓學生初步感受到這樣的一種簡單的模型：如果把n+1個物體任意放入n個抽屜，那么一定有一個抽屜里至少放進了2個物體（n為非零自然數）。在這里沒有采用教材先給結論后證明的方法，是為了幫助學生更好地理解。先提出一個問題情境，把4支筆放到3個杯子里，有幾種擺法，讓學生列舉了所有的擺法以后進行觀察發現，然后總結結論，這是抽屜原理初次被發現的過程，科學家們也是通過這樣的觀察發現逐步完善得到抽屜原理的模型。讓學生感受到抽屜原理其實是很生活化很常見的一種規律、模型。從一一列舉的結果中發現，再回到列舉的結果去理解“總有”“至少”的意思，對學生來說是最容易的。發現規律以后，反復讓學生用數學的語言去表達結論，同時在4只蘋果放入3個抽屜時反問你是怎么想的，引出假設法，為后面進一步建立模型孕伏。

（二）逐步深入，建立模型

借助直觀操作，使學生經歷知識的探究、模型的建立過程。5支筆放入3個杯子里，由于數據比較小，為學生自主探索和理解“鴿巢問題”提供了很大的空間。用枚舉法，可以把所有情況擺出來，運用直觀的方式發現并描述，也可以動手擺一擺，用簡便的假設法，即平均分的方法，用算式表達，然后通過解釋兩個1的含義，引發學生思維步步深入。在這個環節，重點是假設法，讓學生理解為什么只要擺一種方法就可以說明了，這一種方法不是把所有筆放在一個杯子里，這是偶然性，這一種方法是要盡可能地平均分，讓每個杯子里都有筆，而且第一次平均分完，第二次余下的筆要再次平均分，這是學生初步建立并理解模型，而并非是套用算式的重要步驟。

（三）深入研究，完善模型

在前兩個環節探索的基礎上，學生逐步優化，學會運用一般性的數學方法來思考問題，得出一般性的結論。在這一個環節，使學生經歷了一個初步的“數學證明”的過程，體驗和理解“鴿巢問題”的基本模型。這樣的教學過程，有助于學生能力的提升、數學思維的培養。

（四）利用模型，解決問題

提供豐富了生活素材，鴿巢問題原本就是源于生活。這個教學環節讓學生能夠把生活情境和數學模型間建立起聯系，能運用這個模型來解決生活中的實際問題。自己編題的環節，激發學生的興趣，發展創造力，學生的素材有飛鏢的環數、借書的本數、病房安排等等，回歸生活，用模型思想去指導、解決生活中的實際問題。

（五）小結提升，回顧模型

鴿巢問題這個內容盡管很難上，但通過以上的教學，學生的思考與表達都很清晰，對鴿巢原理的理解已相當到位，教學也較順暢，由此看來，不要怕課堂上浪費時間，一定要讓學生經歷從實際問題抽象出模型，建立完善模型，并運用模型的過程，這是至關重要的。

三、從《鴿巢問題》看“模型思想”，準確定位方能循序漸進

模型化思想作為一種基本的教育教學理念，應對教師的教學起到引領作用。用模型思想去指導教學，對數學教材的教學內容進行再認識，將模型思想納為教學目標，貫穿教師的整個教學設計中。作為教師，要充分挖掘與模型思想有關的貼近學生生活經驗的問題情境，便于學生理解復雜而抽象的模型。

數學模型教學處理不當就容易落入為解題而解題的誤區，由此引導學生經歷模型建立的過程就顯得尤其重要。比如本文的課例就是一個很好的示范，從問題情境中抽象出數學問題—嘗試建立數學模型—完善數學模型—應用數學模型解決問題。本節課的目的不是讓學生簡單地記住鴿巢原理的公式解題，而是讓學生經歷模型思想建構的過程，不僅知其然更知其所以然。

對問題情境的數學化是建構數學模型的基礎，也是用模型化思想方法解決問題的前提。在平時的教學中，教師更要加強學生對問題情境數學化的能力，引導學生經歷模型化的過程，注重數學模型的運用，循序漸進地培養學生的模型思想。

作者簡介：王曉君（1987-），碩士研究生，中小學一級教師，從事小學數學教學。