由繁入簡的合理變換

劉勇

摘? 要：學生在解答一些題目時，可通過一些合理的變換，讓題目由繁入簡，進而培養他們不斷探究和創新的意識，提高他們的數學素養。

關鍵詞：拼湊;等換;構造;特殊

我們在解答一些數學題目時，可對圖形進行一些合理變換，這樣有利于學生將復雜的問題變得簡單，培養他們不斷探究、創新的意識，從而進一步提高他們的數學素養。本文將從以下五個方面來進行討論。

一、整移拼湊

一些題目中的圖形求解部分是分散開的，這時我們可以對這些部分進行重組，拼湊出一個易于計算的形狀。這樣做不會使所求部分的形狀發生變化。

例題：圖1大圓中畫了四個一樣的小圓，且大圓半徑是小圓半徑的兩倍，已知小圓半徑是r，求圖中陰影的面積。

若我們把各個陰影部分的面積求出再加起來，這很難做到。若我們將這些陰影部分相加變為圖2，這個陰影部分就成了圓的，陰影部分的面積也就很好求出了。

如圖3的直角三角形，由斜邊為29的紅色直角三角形，斜邊為49的藍色直角三角形以及黃色正方形組成，求藍、紅紙片的面積之和。

要求這兩張紙片和，但我們只知斜邊，不知道高，很難求出面積，若我們試著將這幾個部分重組，變為圖4，則一個新的直角三角形出現在我們面前，這個直角三角形的面積我們可以很簡單地求出。

圓的半徑是r，若以其半徑作為一個新圓的直徑，做出兩個圓，求圖5陰影部分的面積。

此題中的陰影部分是不規則的，很難求出其面積，這時我們試著將這個陰影部分進行切割，形成如圖6的這個等腰三角形，而等腰三角形的面積就很容易求出來了。

二、面積等換

這種方法與整移拼湊有著異曲同工之處，都是將圖形進行一系列的變化，這兩種方法的不同之處在于，面積等換的方法是改變形狀，但不改變圖形的面積。

在圖7中，兩個正方形放在一起，大的邊長是10厘米，求陰影的面積。

此題中，我們只知大正方形的邊長，不知小正方形的邊長，所以，我們要盡可能地將此陰影部分轉化到大正方形中。我們連接AB兩點，即可得到AB與CD平行，若將A點沿著AB這條線段移動到點B，可得三角形ACD的面積與三角形BCD的面積相等，使得原題中的陰影部分面積維持不變，也就是將原題中的陰影部分變為的圓的面積。

三、構造法

有些題目我們通過已知條件或者拼湊轉化都很難求出答案，這時候可以將圖形構成另一個比較容易解答的圖形，再來解答。

如圖9，該四邊形中的AB等于7，CD等于3，∠ABC是45°，求出該四邊形的面積。

在該四邊形中，∠A=90°，∠ABC=45°，從這兩個已知條件中，我們可以試著構造出一個等腰直角三角形ABE，就如圖10，即可得出∠E=45°，那么三角形CDE也是一個等腰直角三角形，且CD=3，AB=10，我們可以很容易求出這兩個三角形的面積，而圖9中的四邊形的面積是大的等腰直角三角形的面積與小的等腰直角三角形的面積之差。

如下題，在直角三角形ABC中，AD=20，CE=5，求圖中陰影部分的面積。

原題中，只給了兩條線段的長度，通過這兩條線段的長度很難求出該陰影部分的面積，我們可以試著以此直角三角形為基礎，構造出一個如圖12的長方形，那么AC就是該長方形的對角線，平分了該長方形的面積，同理可得CF也平分了長方形CEFG的面積，AF平分了長方形ADFI的面積，那么就可以得到長方形BDFE的面積等于長方形FGHI的面積，而且題目已知了AD=20，GF=5，即GH=20，GF=5，從而很容易求得該陰影部分的面積。

四、特殊代入

例題：如圖13，有一個平行四邊形ABCD，在該平行四邊形內有存在一點P，使得三角形ABP的面積等于2，三角形BPC的面積等于5，問三角形BDP的面積為多少？

我們可以這樣來分析，P點存在于平行四邊形ABCD內，該P點是一個無法確定其位置的一點，它會根據邊的長度的改變而發生改變。這時，我們將P點進行特殊化，讓P點落于AD這條邊上，如圖14，此時三角形BPC的面積是平行四邊形面積的一半，三角形ABD也是平行四邊形ABCD面積的一半，也就是說這兩個三角形面積相等，我們已知了三角形ABP的面積等于2，三角形BPC的面積等于5，自然而然三角形BDP的面積就等于5-2=3。

例題：圖15由兩個等腰直角三角形組成，這兩個等腰直角三角形的直角邊都為8.8厘米，且其中一個等腰直角三角形的直角頂點在另一個等腰直角三角形斜邊中點的位置上，這樣就構成了圖15中的陰影部分，求出這個陰影部分的面積。

我們可以這樣來分析，圖15中的陰影部分是一個不規則的四邊形，要求出它的面積，我們僅僅通過已知這個等腰直角三角形的直角邊是很難求出的，但題中說了，這兩個直角頂點是在兩條斜邊上移動的，我們不妨將不在斜邊中點的這個直角頂點旋轉至斜邊中點的位置上（如圖16），這兩個圖形中陰影部分的面積是相等的，具體的證明過程這里就不寫出來了。這樣我們要求出圖15中的陰影部分的面積就是要求出圖16中邊長為4.4厘米的正方形的面積。

這類特殊值的代入方法，是通過對圖形進行合理的變換，在不改變原題意思的基礎上，讓這些問題變得更易理解，從而解答起來更加快捷。

以上的這些方法，都只是個別案例，在很多情況下，我們會遇到一些綜合性很強的題目，這就要求我們對上述幾種方法進行綜合運用。

五、綜合運用

在某次的華杯賽的決賽上有這樣一道題目：在四邊形ABCD（如圖17）中，已知AB=CD=15，∠B=105°，∠A=∠C=45°，求出該四邊形的面積。

這個四邊形的面積要怎么求，無從下手，但解決這種問題的方法也就那么幾個，都來試試看。第一步整移拼湊，看能否將這個不規則的四邊形拼湊成一個規則的四邊形。我們連接BD，將三角形BCD往下移動，使得CD邊與AB邊重合，即可得到一個規則的四邊形（如圖18），因為∠BAD=∠B′C′D′=45，所以AD∥B′C′，同時BD又與B′D′相等，因此該四邊形ADBB′是一個等腰梯形。

但求得梯形并不能直接求出該四邊形的面積，我們再用割補的方法來拼出一個正方形（如圖19）。這樣我們將原本不規則的四邊形轉化成一個正方形，又得知正方形對角線的長度，面積就是15×15÷2=112.5。

這種綜合運用的方法雖能大大降低問題的難度，但要求學生對這幾種方法充分理解并且掌握。通過這一系列的方法，使學生的解題思路更加清晰，同時也拓展了學生的思維能力，培養了他們的創新意識。

作者簡介：劉勇（1981-），本科學歷，中小學一級教師，主要從事小學數學教育教學。