分辨學生自然結構的正誤

摘? 要：學生在剛開始進入小學的時候，做題經常會發生“想加卻減，想減又加”的情況，這時，教師不應很輕易地就判斷學生是錯誤的，而是要分析這種問題出現的原因，再通過這些原因來具體分析，以此加強學生對加減運算的理解，從而減少這種問題的發生。

關鍵詞：自然結構;加工結構;人為習慣

初入小學的學生在答題時經常會發生“想加卻減，想減又加”的情況。就如同下面這道問題：

此題是：已知蘋果的總數量是7個，小朋友拿走了3個，那么籃子中還剩下多少個蘋果呢？這就是簡單的減法運算：7-3=4，但學生經常會這樣列式：4+3=7。還有類似的題目：一群麻雀在電線桿上，飛走了3只，還剩下5只，那么原來共有多少只麻雀呢？此題就是簡單的加法運算：3+5=8，但有的學生會這樣列式：8-3=5。很明顯這兩道題都有一個相同點，那就是學生都知道問題的答案是什么。

那到底為什么會引起這種情況的發生呢？像這種情況，教師是該算學生對還是算學生錯呢？

一、思維的自然與加工結構

學生的思維認知大概可分為這三個部分：①眼鼻耳等器官獲得信息;②大腦中對信息的加工;③表達加工的信息。學生在表達上出現問題了，那么也就意味著獲得知識的過程與加工信息的過程可能至少有一個出現了問題。

學生在解答上述兩個問題時都有這樣一個共同點，都是按照題中的所給出的信息順序來寫算式。比如第一個問題，題中的信息順序為：空籃子、3個、7個，這三者之間能夠很自然而然地得到：4+3=7，學生得到了這個算式就會很容易直接寫出這個答案不再多加考慮，畢竟這個算式中已經包含了正確答案。

我們的閱讀習慣大多都是自左往右、自上往下，所以我們獲得的信息都是有先后順序的，這個先后順序會很自然地讓我們得到一個思維結構。對于剛步入小學的學生而言，要對他們所獲取的這些信息進行加工還是比較復雜的，因為他們的加工能力還是比較弱的，所以他們就會很容易按照得到這個自然思維結構來進行表達。這樣也就可以比較容易解釋學生為什么會列出上述算式。若我們將“4+3=7”“8-3=5”這兩個算式的思維方式稱為“自然結構”，“7-3=4”“5+3=8”這兩個算式的思維方式稱為“加工結構”，那么學生出現錯誤的重要原因就是這兩個結構的順序是不一樣的。

學生之所以會形成這樣一種自然的思維結構，這與他們的經歷是密不可分的。就好比114×21標準的豎式計算應該為：

這種標準的豎式計算就是把“21個114相加”變成“1個114和20個114相加”。還有的學生會有別的方法來列出豎式，比如下面這種：

這種算式雖然不同于標準的算法，但與標準算法的中心思想還是如出一轍的，不同的只是他們的結構順序不一樣而已。

綜上所述，學生在學習這類數學問題中的重難點就是獲得知識的自然結構與對知識進行的加工結構這兩者之間的差異性。這就要求老師要將教學重點放在轉化自然結構和加工結構上并要對這兩種結構進行充分了解。在學習中，不能盲目否定學生依據自然結構得出的結果，這樣不但會約束學生的思維發散，而且還會削減他們在學習數學上的興趣。所以對待這種由自然結構得出的結果的正確與否我們還需要進一步進行判斷。

二、合理分析錯誤

對于上述由自然結構得出的結果，認為正確的是覺得學生已經理解了題中的數量關系，并且計算結果也是正確的;認為錯誤的是覺得學生還沒有正確理解題目中的已知量和未知量，結果應寫在等式的右側。雖然題中的已知量和未知量不相同，但是還是應該將這兩者結合起來思考。就像在方程的學習中我們把未知數當成已知數來用，并且用字母將這些未知數表示在算式中。我們可以將方程上的知識運用到前面這兩個問題中，即可得到X+3=7和X-3=5。從這兩個算式中我們就可以看出方程就是自然結構得出來的結果。

認為應將結果寫于等式右側其實是誤解了等式。相等關系是等價關系中的一種，而等價關系應該是包含了以下這三個條件的：①自身性：A=A;②交換性：若A=B，即B=A;③傳遞性：若A=B，B=C，則A=C。其中的交換性就說明了等號前后的順序是可以進行交換的，那么一定要將結果寫在等式右側的這一說法就是不正確的。這最多只能算作是大家約定俗成的習慣，從這方面來講，通過自然結構得出的結果是應該被認可的。

三、識別自然結構的依據

當學生遇到自然結構與加工結構得出的結果不相同時，應該從更加廣闊的角度來識別自然結構的正確與否。“錯誤”在詞典上的解釋是：不正確，與客觀實際不符合。若我們以詞典上“錯誤”的解釋作為依據，則需要更加明確客觀實際在數學中的意義。小學數學的內容可根據客觀性、主觀性分為這三種：

（1）數學發展規律所形成的：類似的有加法交換律，它實質就是加法運算的自然規律。這種規律不會以人的意志為改變，是客觀存在的。

（2）根據數學發展人為規定的：類似的除法中，余數小于除數。雖然這并非除法運算的自然規律，但這樣規定可以保證結果的唯一性。舉個例子“7÷2”，整數范圍內有這樣四種結果（如下表），但這幾種結果根據乘法公式來檢驗都是正確的。

被除數與除數分別相等的運算，卻是不同的結果，像這種不確定性會讓數學推理變得更加復雜。在數學學習中這種形式的推理還是很常見的：

但如果沒有規定余數小于除數，那我們也就無法進行進一步的推理了，所以說做此規定是為了運算結果的準確性，這樣的規定也同時促進了數學邏輯的發展。

（3）根據某種需求或認為習慣：就好比豎式計算，人們在沒有計算機的時候，為了計算更簡便，想出來過很多的方法，但最終被流傳下來的標準算法，不只是體現了數學規律，更重要的是人為規定的，為了更加簡便。再比如概念命名，這也是人為規定的。“質數”這個概念最初被稱為“數根”，之后才變為素數或質數。就如同上述所說的結果應寫于等號的右邊，這也只是人們的習慣而已，不是判斷正確與否的依據。

我們若將第一種稱作“規律性知識”，二三兩種稱作“規則性知識”，可以這樣說規律性知識客觀性更強，規則性知識主觀性更強。不能僅僅將主觀性作為判斷正確與否的依據，更應該將規律性知識作為判斷的依據。我們應該鼓勵、指引并保護學生不被條條框框限定思維。

四、結語

學生在自然結構下經常會有錯誤，這也無法避免。所以在教學中，要及時發現這些錯誤，讓學生加深探究，自然而言地將自然結構轉化為加工結構。我們要理解學生所犯的錯誤都有一定的道理性，學生之所以會犯這種錯誤，與數學規律和對規律的理解這兩方面有關，教師在課堂上就是要對這種道理性進行探究。我們可以從以下幾個方面來探討：

（1）收集并整理學生所犯的錯誤案例，比如課后作業、課堂練習、課堂發言以及考試中出現的錯誤。

（2）判斷收集過來的案例是否為真的錯誤，判斷的依據是看違背的是客觀規律或者是主觀規則，而辨別的標準主要看其違背的是客觀規律還是主觀規則。

（3）對錯誤的原因進行分析。這是最重要的，我們可以從學生的自然結構來分析。

（4）開展具有針對性的教學活動，這種教學活動的重點應該是將自然結構轉化到加工結構上去。

上面幾點的前三個方面是判斷的條件，第四個方面是解決的方法，只有有了判斷的依據，才能夠提出合理的解決辦法。只有這樣的課堂才能讓學生更好地將自然結構轉化為加工結構，課堂效率才會更高。

作者簡介：王黨英（1965-），小學高級教師，從事小學數學教學工作36年。