理清關(guān)系，提高“解決問題的策略”教學(xué)的有效性

錢建兵

“解決問題的策略”是蘇教版數(shù)學(xué)教材編排的內(nèi)容。策略的教學(xué)，不同于方法的習(xí)得，需要通過主體的多次反思，向下尋找具體操作方法的支撐，向上呼應(yīng)高位的數(shù)學(xué)思想，從而積淀成為個體的一種思維方式與解決問題的能力。一定程度上說，策略并不是教師“教”給學(xué)生的。因此，在教學(xué)中，需要滿足不同層次學(xué)生運用策略的需求，把準(zhǔn)策略學(xué)習(xí)的目標(biāo)，打通經(jīng)驗與方法的聯(lián)系，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維方式的形成，提升學(xué)生解決問題的能力。

一、找準(zhǔn)內(nèi)需共振點，處理好不同層次需求的關(guān)系

只有主體在真實的思維情境中，產(chǎn)生用策略的內(nèi)需，才能激活、調(diào)用相關(guān)經(jīng)驗，積極主動地使用策略，為策略的內(nèi)化與方法的外顯提供積極的體驗。因此策略教學(xué)要基于學(xué)生的需要，而不同層次學(xué)生的需求是不一樣的，教學(xué)需要找到不同學(xué)生使用策略的共振點，引發(fā)共同的需求。教學(xué)中存在的誤區(qū)，就是將教師的需求強(qiáng)加給兒童，以抽象需求代替具體的需要。

以“列表整理的策略”為例。應(yīng)該說，整理信息的需求與信息的復(fù)雜程度及呈現(xiàn)方式是相關(guān)的，沒有多余信息，也就沒有整理的需要了。所以，教學(xué)時可將例題中的信息復(fù)雜化，適當(dāng)加入多余信息，并且雜亂呈現(xiàn)。無序與多余，調(diào)動了學(xué)生進(jìn)行積極地思維，增加了整理的內(nèi)需。

學(xué)生的需求從哪里來？一是生發(fā)于認(rèn)識上的“空白”，“該有而沒有”之處;二是要滿足學(xué)生的本能。以“畫圖策略”教學(xué)為例。課前的前測結(jié)果表明，學(xué)生全部能正確地畫出線段圖。這除了跟之前學(xué)習(xí)其他策略時用過畫圖之外，一個重要的原因是數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中，都不自覺地用了線段圖。對例題中的和差問題，有近一半的學(xué)生能在沒有任何提示的情況下自主解決。

顯然，如能輕松正確地解答題目，畫圖的內(nèi)需是不強(qiáng)烈的。不同層次學(xué)生需求的共振之處在于，既讓做錯的學(xué)生清楚其錯誤的根源，又要引發(fā)做正確的學(xué)生在理解上不斷深入，而畫圖正好是幫助學(xué)生達(dá)到目標(biāo)的一種好方式。教學(xué)緊緊圍繞算式的意義展開，既讓學(xué)生感覺到自己的“該有”，又讓學(xué)生看清自己的“沒有”。利用圖形交流，既是一個數(shù)量關(guān)系明晰的過程，又是一個認(rèn)識伴隨表達(dá)與交流逐步深化的過程。這樣的情境下，畫圖策略才是學(xué)生需要的自然流露。而在此過程中，隨著學(xué)習(xí)的深入，線段圖一直是學(xué)生交流、發(fā)現(xiàn)的強(qiáng)有力的工具。最終，通過學(xué)習(xí)，總有一些感性的、思想方法層面的東西積淀下來，這就是策略形成的基本形態(tài)。

虛假的需要對策略的體驗是淺層次的。只有策略的使用意識被喚醒，相關(guān)經(jīng)驗被激活并且深度參與了思維活動，對策略的感悟才能有更深層次的積累，所謂學(xué)習(xí)才能真正發(fā)生。

二、關(guān)注經(jīng)驗斷點，處理好已知與應(yīng)知的關(guān)系

學(xué)生對策略的認(rèn)知并不是張白紙，造成教學(xué)中“無力感”的原因在于，把策略當(dāng)成一種新知識進(jìn)行教學(xué)。策略教學(xué)以解決問題為載體，讓學(xué)生將一些零散的、無意的行為上升為能靈活運用的能力。而這些策略能力，是存在于學(xué)生經(jīng)驗中的，只是有些是無意識的，存在著運用能力的高低而已。因此，教學(xué)要充分利用好學(xué)生的已知，處理好已知與應(yīng)知的關(guān)系。

以“一一列舉”為例，其實學(xué)生并不陌生。如數(shù)的分成、乘法口決表、用數(shù)字卡片組數(shù)、用若干個小正方形拼不同的長方形、搭配的問題……可以說，一一列舉伴隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程，學(xué)生有著較為豐富的有序列舉經(jīng)驗。如果教師還是著重強(qiáng)調(diào)不重復(fù)、不遺漏，那么教學(xué)將會是無效的。教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生理解長與寬之和是11米之后，把重點放在讓學(xué)生“列舉長與寬可能是多少”上。按理說，學(xué)生有10以內(nèi)數(shù)的分成經(jīng)驗，把11進(jìn)行分成，是不大會出現(xiàn)重復(fù)、遺漏現(xiàn)象的。但不少教師經(jīng)歷這一環(huán)節(jié)時，都不約而同地尋找學(xué)生在列舉時的錯誤，一旦發(fā)現(xiàn)，如獲至寶。將個別錯誤拿出來大書特書，這意味著對教學(xué)的準(zhǔn)備是有偏差的。

為什么需要一一列舉？因為需要知道所有答案，所以必須把答案都一一寫出來。也就是說，一一列舉對學(xué)生而言，思維的起點在于了解運用列舉的情境與如何進(jìn)行合理分類，使列舉不重復(fù)、不遺漏，這也是經(jīng)驗上的斷點。有些題目，不能用常規(guī)的方法，或一時找不到思路，想不到解決問題的辦法，就可以用一一列舉，如租船問題、雞兔同籠問題等，通過列舉，可以幫助我們發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。例題是一個極值問題，怎樣圍最大？如果直接出示例題，學(xué)生不容易想到“要把全部的圍法找出來，然后確定最大的圍法”。如果沒有“周長一定，形狀不一定”這一經(jīng)驗，學(xué)生就想不到會圍成多種長方形。基于以上認(rèn)識，教學(xué)中可讓各個小組探究出一種圍法之后進(jìn)行交流，由于各組圍法不一樣，于是周長一定，形狀不同的圍法就自然而然地出來了。這樣，多中選優(yōu)的解題思路水到渠成，一一列舉的需要也自然而生，體驗也更豐富。

三、把握思維關(guān)鍵點，處理好外在形式與思考過程的關(guān)系

“如果學(xué)習(xí)者能夠了解他用這些新知識能做什么事（最好是短期內(nèi)能做到的事），他就會去學(xué)習(xí)。其次，如果學(xué)習(xí)者能夠改變原初的心智結(jié)構(gòu)，甚至徹底重塑心智結(jié)構(gòu)，他就能學(xué)習(xí)。最后，如果新知識或?qū)χR的新表達(dá)能給學(xué)習(xí)者帶來‘好處，并讓他在解釋、預(yù)測或行動時感受到這種好處，他就能學(xué)習(xí)。”[1]策略教學(xué)需要讓學(xué)生不斷地體驗策略給他們帶來的“好處”，而這里的好處，就是解決問題能力的提升，而不是為了策略而策略。

以“列表整理”為例，不少學(xué)生會把列表看成是一種負(fù)擔(dān)，不愿意列表整理，一是列表麻煩，二是如何設(shè)計表格需要思考，還有一些學(xué)生不需要列表整理就能解決問題。列表整理的價值在哪里？一次測試中有這樣一題：1平方米闊葉林在生長季節(jié)，每天大約吸收0.1千克二氧化碳，釋放（? ?）千克氧氣，南山湖公園有1 000平方米的闊葉林，每天可以吸收（? ?）千克二氧化碳，釋放73千克氧氣。學(xué)生的錯誤率非常高。但是如果改變敘述的順序或形式，如以表格呈現(xiàn)，許多先前做錯的學(xué)生都會做了。其實，原先的題目之所以難，是因為它的敘述不利于學(xué)生找到相關(guān)聯(lián)量之間的對應(yīng)關(guān)系。這說明了列表的目的與價值：讓內(nèi)隱、散亂的條件之間的關(guān)聯(lián)變得外顯，從而利于學(xué)生把握數(shù)量之間的關(guān)系。列表不應(yīng)獨立于分析問題的過程之外，脫離了解決問題的列表是沒有意義的，要處理好外在形式與思考過程的關(guān)系。

表格的目的是增強(qiáng)條件之間的關(guān)聯(lián)。當(dāng)整理時的思維不能將其與表中預(yù)設(shè)的分類對應(yīng)起來時，列表就成為解決問題的障礙。教學(xué)要將如何列表整理與如何把握關(guān)系這兩個思維過程統(tǒng)一起來，不能為整理而整理。教材也正是基于這樣的考慮，在出示題目后有兩個卡通人物的提示：按果樹的種類進(jìn)行整理和根據(jù)問題選擇條件進(jìn)行整理。在呈現(xiàn)題目后，可直接讓學(xué)生按自己的方式整理。在交流時選擇兩份有代表性的表格，一種是所有果樹的信息都整理，另一種只整理了與問題相關(guān)的兩條信息。如圖1、圖2。

在交流時，首先要緊緊抓住“為什么要把果樹的品種、行樹及每行的棵樹寫一起”，引導(dǎo)學(xué)生對整理的過程進(jìn)行反思，使學(xué)生意識到“果樹的品種、行樹及每行的棵樹”是相關(guān)聯(lián)的一組信息。將“沉睡”狀態(tài)的經(jīng)驗喚醒與提煉，體會整理的價值。接著，引導(dǎo)學(xué)生對兩種整理方法進(jìn)行比較，體會“按條件進(jìn)行整理”與“按問題進(jìn)行整理”兩種思路。通過比較，一是得出不管怎樣整理，都是要把對應(yīng)的條件整理在一起，體會列表整理背后的一一分類的思想和對應(yīng)的思想，二是讓學(xué)生體會可以根據(jù)問題選擇相關(guān)的信息。在此基礎(chǔ)上形成表格，橫向的、縱向的、有無表格線、對條件的摘錄是不是最為簡潔等，這里都不是關(guān)鍵，重要的是讓學(xué)生認(rèn)識到，整理就是分類，就是把關(guān)聯(lián)的信息放在一起，條件與條件之間有對應(yīng)關(guān)系。關(guān)聯(lián)的條件在一起可以“從問題想起”，也可以“從條件”想起。這樣教學(xué)，把整理條件作為分析數(shù)量關(guān)系的過程與手段，在整理的過程中把握數(shù)量關(guān)系，從而體會列表整理對分析數(shù)量關(guān)系及解決問題的幫助，體會列表整理的價值。

四、 打通思想升華點，處理好前后學(xué)習(xí)之間的關(guān)系

策略的形成離不開反思與回顧。教材也有反思與回顧環(huán)節(jié)。然而，在教學(xué)中不少教師照本宣科，引導(dǎo)學(xué)生把學(xué)過此種策略的情境過一遍。一方面學(xué)生憑空想不到，二是不能建立聯(lián)系，對策略的新認(rèn)識與原有經(jīng)驗不能很好地整合，經(jīng)驗是斷層的。回顧的價值在于，當(dāng)學(xué)生“正式”學(xué)習(xí)了某種策略后，能以一個新的高度——以更上位的數(shù)學(xué)思想站位去審視自己的行為。

以畫圖的策略為例，筆者在教學(xué)時是這樣設(shè)計的：首先從倍的認(rèn)識回顧畫圖的方法，一個物體就畫一個圖形。接著，讓學(xué)生試著用線段圖表示。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生比較兩種圖各自的特點：你喜歡用哪種圖表示？為什么？有的學(xué)生說“喜歡能具體看出數(shù)量多少的圖”，也有同學(xué)說“喜歡線段圖，它的本領(lǐng)大，能表示出更多的”。正當(dāng)意見似乎要傾向線段圖時，出示探索周期規(guī)律時的圖3。

此時，學(xué)生們紛紛表示，要畫具體一些，才能更清楚地看出規(guī)律。通過這樣的回顧，學(xué)生不僅體會到每種圖都有各自的優(yōu)點，畫圖的目的是更清楚地發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，要根據(jù)需要畫合適的圖，這樣就加強(qiáng)了畫圖策略前后學(xué)習(xí)的聯(lián)系。從示意圖到線段圖，引領(lǐng)學(xué)生回顧從具體到抽象的學(xué)習(xí)歷程，溝通了兩者之間的聯(lián)系，對畫圖的策略有了整體的認(rèn)識。

總之，策略的教學(xué)中要激活學(xué)生用策略的真實需求，在學(xué)生已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生的思維向縱深發(fā)展，在解決問題的過程中感受策略，對策略有全面的認(rèn)識，既有下位的方法支撐，又積極呼應(yīng)相對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，這樣才能提高策略教學(xué)的有效性。

參考文獻(xiàn)

[1] 安德烈·焦?fàn)柈?dāng).學(xué)習(xí)的本質(zhì)[M].杭零，譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2015.

[責(zé)任編輯：陳國慶]