導數在不等式問題中的應用

宣筱瀟 李琪

【摘要】導數是中學數學中重要的知識點，是學生必須掌握的知識點。利用導數證明不等式問題，構造新的函數，搭建起不等式和函數的橋梁，將不等式問題化難為易，為解決不等式問題提供新的解題思路。熟練掌握導數在不等式問題中的作用，有利于中學數學階段的學習。

【關鍵詞】導數 不等式 函數 應用

【基金項目】2015年度國家自然科學基金項目“若干離散可積方程族的多維反散射變換研究及精確解”。（編號：11561002），主持人：李琪。

【中圖分類號】G42 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）25-0152-02

一、引言

在數學學習過程中，等式問題是一個非常普遍的現象，而不等式一樣也是數學學習中一個重要的知識點。近年來，不等式問題在數學研究領域已經得到了非常廣泛的應用和研究。對于一般性的不等式證明問題，采用的方法有比較法、綜合法、數學歸納法、分析法、重要不等式法等。對于比較難或者抽象的一些不等式問題，傳統方法的局限性問題就比較突出了。

導數在高中數學中占據著主導地位，是每位學生必須掌握的知識點，同時在大學課程中，是微積分的基礎內容，具有承上啟下的作用。導數作為一種重要的解題工具，在許多類型的題目中都有涉及，是一個值得研究的課題。許多學者研究過導數在解決不同類型題目中的作用，熊詩茂研究導數在不等式恒成立求參數范圍問題上的作用；[1]鐘宇寧將導數作為研究工具，研究導函數不等式解集的若干求解方法；[2]曲文瑞、李學軍認為導數具有豐富的內涵和幾何背景，為函數問題的解決提供了便利的條件；[3]吳統勝認為學生對于函數壓軸題具有恐懼心理，他舉例研究了導數處理函數問題的解題策略。[4]

不等式是中學數學一個重要的知識點，證明的方法多種多樣，如何通過具體例子采用何種解決辦法則是十分關鍵的。將導數作為一種數學研究工具，利用導數證明不等式，構造出新的函數，利用相關的理論研究探討，將靈活多變，技巧性強的不等式證明問題變得更加簡單。

本文利用導數這個工具多角度證明不等式，分別通過導數定義證明定義型不等式，利用導數這個工具將一些不等式問題轉化為函數單調性求解，以及利用導數研究不等式問題中常見的恒成立問題。

二、利用導數定義證明不等式

函數y=f（x）在x0處的瞬時變化率■■=■■成為函數y=f（x）在x=x0處的導數，記作f′（x0）或y′|x=x0。利用導數的定義可以證明一些定義型的不等式問題，仔細觀察題目條件和結論，尋找x0鄰近區域，利用導數定義完成解題。

例如： f（x）=m1sinx+m2sin2x+…+mnsinnx其中m1，m2，…，mn都為實數，n為正整數，已知對于一切實數x，有|f（x）|≤|sinx|，證明|m1+2m2+…+nmn|≤1。

分析：該題是不等式的證明，首先需要求出f（x）的導數，觀察導數值與問題之間的關系，最后再根據題目已知條件設定x的值證明不等式。

證明：∵f′（x）=m1cosx+2m2cos2x+…+nmncosnx，觀察式子可得當x=0時，f′（0）=m1+2m2+…+nmn，將問題轉化為|f′（0）|≤1。根據導數定義可得|f′（0）|≤■■=■■，由已知條件知|f（x）|≤|sinx|，|f′（0）|≤■■=1，∴|m1+2m2+…+nmn|≤1成立。即得證。

三、利用函數的單調性證明不等式

證明可導函數不等式，可利用導數符號和函數單調性的關系來證明。[5]設函數y=g（x）在[m，n]上連續，在（m，n）上可導：

（1）如果在[m，n]上g′（x）≥0，那么y=g（x）在[m，n]上單調遞增；

（2）如果在[m，n]上g′（x）≤0，那么y=g（x）在[m，n]上單調遞減。

在某些不等式問題上，可通過判斷導數大小來判斷函數的增減性從而解答不等式問題。

例如：已知m>0，如何證明m>ln（1+m）。

分析：第一步構造函數，通過作差作商的方式構造一個新的函數。設α（m）=m-ln（1+m），當m=0時，α（m）=0。若證明當m>0時，α（m）為增函數就可證明m>ln（1+m）。

證明：設α（m）=m-ln（1+m），∵α（m）在（0，∞）上可導，通過求導，得到α′（m）=■。當m>0，α′（m）>0，即α（m）在（0，∞）上是一個增函數，∴α（m）>α（0）。∵α（0）=0，∴α（m）>0，∴m>ln（1+m），即得證。

導數作為搭建函數和不等式的橋梁，使某些不等式證明化難為易，便于學生解題。利用函數單調性證明不等式的過程可分為三個步驟：

（1）構造新的輔助函數（構造函數的方法有很多，有作差法、作商法、不等式兩邊取對數法等）。（2）對函數求導，判斷求導之后的正負性。若求導后大于零，則在定義域內該函數是單調遞增，若小于零，則是單調遞減。（3）根據題目條件證明不等式。

四、利用導數解決恒成立問題

不等式的恒成立問題是高中數學中常有的題目類型，難易程度可大可小。在近幾年的高考中，不等式的恒成立問題也是一個熱點題型，常以最后一道壓軸題出現。導數作為一種有效的解題工具，在解決不等式恒成立問題中起到了十分重要的作用。

例如：已知y=■在R上是恒成立，求a的取值范圍。

分析：因為在R上是恒成立，也就是對于任意的x，ax2+6ax+a+8≥0。設f（x）=ax2+6ax+a+8，將不等式問題轉化為函數問題，利用導數求解函數的最值。若函數的最小值恒大于等于0，則不等式恒成立。

求解：（1）當a=0時，f（x）=8，此時滿足條件。

（2）當a>0時，f′（x）=2ax+6a，所以x=-3是函數的極小值。繼而求出函數的最小值為f（-3）=9a-18a+a+8=8-8a，則8-8a ≥0，所以a∈（0，1]。

（3）當a<0時，此時函數開口向下，不能在R上恒成立，所以不成立。

綜上所述，a的取值范圍為[0，1]。該題是一個帶根號的恒成立問題，由于根號的特殊性，學生解題思路相對清晰，后續利用導數求解函數的最值便迎刃而解。不等式的恒成立問題題型較多，具體問題需具體對待。

五、建議與思考

在不等式的證明過程中，導數的應用十分廣泛。定義型的不等式問題可運用導數的定義求解；涉及函數類型的不等式問題中，可通過導數這個工具求解函數的單調性從而證明不等式；不等式恒成立問題是歷年來的高考熱點，通過導數這個工具可將題目化難為易。不等式題目千變萬化，學生在實際做題中如何找準切入點是教師也是學生該引起重視的。本研究的不足之處在于只列舉了一部分類型的不等式，且題目數量有限，典型性不夠。

參考文獻：

[1]熊詩茂.基于不等式恒成立求參數范圍問題的導數運用[J].數學學習與研究，2018（17）

[2]鐘宇寧.導函數不等式解集求解方法[J].科教導刊，2018（1）：39-41

[3]曲文瑞，李學軍.函數與導數復習專題[J].中學教研（數學），2018（2）

[4]吳統勝.例談函數導數壓軸題的解題突破策略[J].中學數學研究，2017（12）

[5]李文光.利用導數方法證明不等式[J].云南建設學校，2010，5.

作者簡介：

宣筱瀟（1994-），女，漢族，浙江諸暨人，東華理工大學2017級教育碩士在讀研究生。

李琪（1973-）， 女，漢族，江西撫州人，東華理工大學教授，博士，研究方向為非線性可積方程、數學教育教學方法。