三角函數法對同方向同頻率簡諧振動合成的求解

張旸

【摘 要】本文運用三角函數方法，對同頻率同方向簡諧振動的合成做了計算，結果與通常使用矢量圖示法得出的結論一致。

【關鍵詞】簡諧振動;矢量圖示法;三角函數法

【中圖分類號】O436.1 ??????【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）15-0009-01

在醫用物理學的教學中，振動和波相關章節是十分重要的內容。因為波是自然界十分普遍的運動形式，不同性質的波在醫學不同領域獲得了重要應用，如超聲波、次聲波、X射線、γ射線等等。波的干涉是波與波相互作用的特殊情況，在理論和應用上都有重要意義。而干涉的理論基礎就是同方向同頻率簡諧振動的合成。

多數教材對簡諧振動合成的計算采取了矢量圖示的方法[1][2]。借助簡諧振動與一個旋轉矢量的對應關系，將簡諧振動直接合成的問題轉化為對應的矢量合成的問題，具有直觀性，物理圖景清晰，計算過程也十分簡潔。

是否可以不用矢量圖示法而直接用三角函數方法進行計算呢？可以想象，計算過程會比矢量圖示法復雜，但是它沒有利用簡諧振動與一個旋轉矢量的對應關系，比較直截了當，數學味較濃。下面給出三角函數法對簡諧振動合成問題的推導。

設兩個同方向同頻率簡諧振動的函數分別為：

x1=A1cos（ωt+φ1），x2=A2cos（ωt+φ2）

其中x1，x2表示兩個獨立分振動的位置坐標，A1，A2表示兩獨立分振動的振幅，ω為共同的振動頻率，φ1φ2表示各自的初相位。

由運動的疊加原理，合成振動為：

x=x1+x2=A1cos（ωt+φ1）+A2cos（ωt+φ2）（1）

由公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，（1）式可化為：

x=A1（cosωtcosφ1-sinωtsinφ1）+A2（cosωtcosφ2-sinωtsinφ2）（2）

整理，可得

x=cosωt（A1cosφ1+A2cosφ2）-sinωt（A1sinφ1+A2sinφ2） （3）

對形如x=Acosα-Bsinα ?的表達式，根據三角函數知識可化為：

Acosα-Bsinα=〖KF（〗A2+B2〖KF）〗cos（α+θ），其中θ滿足

sinθ=B〖〗〖KF（〗A2+B2〖KF）〗 ???????cosθ=A〖〗〖KF（〗A2+B2〖KF）〗 ??tanθ=B〖〗A

因此，（3）式可化為

x=Acos（ωt+φ） （4）

其中〖XC1.JPG;%21%21〗（5）

φ=tan-1（A1sinφ1+A2sinφ2〖〗A1cosφ1+A2cosφ2）（6）

（4）、（5）、（6）三式表明，合成振動依然是一個簡諧振動，振幅與初相分別滿足（5）、（6）兩式。

由（5）、（6）兩式可知，1.三角函數方法與矢量圖示法得出的結論完全一致，它從理論上驗證了矢量圖示法的結果。2.計算過程的復雜程度比想象的要小，幾乎只是拼湊兩角之和的三角函數，就證明了合振動依然是一個簡諧振動，而且得出了振幅與初相位。3.不需要作圖，用純代數辦法處理，思路簡單而直接。

綜上所述，在教學中可以適當介紹三角函數法，讓同學們比較兩種方法的優劣，加深對簡諧振動合成公式的理解。而對相關的數學計算也會更熟悉，感受數學與物理之間的聯系，提高學習興趣。

參考文獻

[1]趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程-力學（第二版）.高等教育出版社，2004.

[2]胡新岷，王磊，冀敏，李曉春，吳明海.醫學物理學（第八版）.人民衛生出版社，2017.