基于“問題串”的高中函數教學策略

林建森

[摘? ?要]函數問題向來是高中數學的學習難點，需要使用科學的教學方案優化教學.設計“問題串”是優化教學的途徑之一.

[關鍵詞]問題串;高中函數;教學策略

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）17-00021-02

函數問題向來是高中數學的學習難點，通過設計“問題串”能優化函數教學，提高函數教學效率.

一、“問題串”教學模式概述

“問題串”是基于核心教學內容，使用具有邏輯結構的一連串問題（3至5個問題）進行分析，讓學生能夠在學習過程中由淺入深地了解核心知識，以便更好地應用.該方法能有效整合學生的認知，促使學生在問題解決過程中及時與教師進行反饋，進而解決不同的數學問題，幫助學生培養良好的數學思維習慣.另外，該教學方式能夠鍛煉學生的邏輯思維能力，有利于學生數學素養的全面提升.

二、函數教學策略

（一）函數單調性教學

函數單調性內容通常會涉及遞增或遞減，僅通過理論對函數問題進行理解，不能將單調性問題進行全面講述.因此，教師在二次函數的單調性的拓展中，可以引入“問題串”，以便于學生理解，促使學生充分理解函數圖像與函數單調性之間的關系.

例如，在《函數的模型及其應用》的教學中，教師可以引出“問題串”.

問題1：假設有函數[y1=x2]和[y2=x]，觀察[y1=x2]和[y2=x]兩個函數，有哪一部分滿足[y1y2]，分析這兩個函數的增長趨勢.

分析：通過這兩個函數的圖像可以看出，兩函數均與原點存在交點.當[x<0]時，存在[y1>y2];當[x=0]時，存在[y1=y2];當[x>0]時，存在[y1

問題2：若存在兩個具體自變量的值[a]、[b]，且[a

分析：題設中沒有規定[a]、[b]的取值范圍，也沒有規定[a]、[b]是否均為正數或負數.因此不能判斷函數是遞增的.如：函數[y=5x2-3x]中存在[a]、[b]，其中[a=-2]，[b=3]，由此看出[a

問題3：假設[x∈a，b]，且[x]存在無數個值，即[x1

分析：該問題是問題2的引申，其核心是對于抽象問題的特殊化處理.其證明方法同問題2，都是通過列舉反例的方法，列舉出“特殊化”的實際問題，進而引導學生自主推導，需要根據函數[f（x）]的定義域對兩數進行取值，并結合實際函數圖像進行分析，最終引導學生對函數單調性的中“任意”兩字有全面了解.

通過以上問題的提出，促使學生在函數的圖像中作出“任意”兩點，并分析這兩點之間[y]值的大小，促使學生能夠在學習函數模型的過程中對增函數的定義和減函數的定義進行比較.即若函數在區間內的圖像是上升趨勢，可以得到函數中x的取值隨著圖像增長而增長，此時便可以得出若[x1

問題4：假設[x1=1，x2=2]為函數[f（x）=x5-253x3+20x+1]的兩個極值點，求[f（x）]的單調區間.

分析：高階函數需要使用導數的方法求解其單調區間，主要思路是將高階函數轉化為低階函數，并結合圖像進行觀察.

[f（x）=x5-253x3+20x+1]的導數為[f（x）=5x4-25x2+20=5（x2-1）（x2-4）=5（x+2）（x+1）（x-1）][（x-2） ].

結合函數圖像可以分析出：

[x∈（-∞，-2）?（-1，1）?（2，+∞）]，[f（x）>0];

[x∈（-2，-1）?（1，2）]， [f][（x）<0].

那么可以依據導數的內容判斷出：函數在[（-∞，-2）] [? （-1，1）?（2，+∞）]三個區間單調遞增;在[（-2，-1）] [? （1，2）]區間內單調遞減.

（二）三角函數的教學

在《函數[y=Asin（ωx+?）]的圖像變換》的教學中，教師可以對三角函數的定義進行講述，并講述振幅[A]、[T=2πω和 f=1T]的內涵，然后通過構建三角函數的教學情境，利用教學軟件的表現方法進行展示.

問題1：已知函數[y=sinx]，若將函數向右平移[π6]個單位，那么該函數的解析式是什么？

分析：該問題基于對三角函數圖像的了解，引導學生利用三角函數圖像平移的性質，即[y=sinx]的圖像向左平移φ個單位或向右平移φ個單位（[φ<0]），得到[y=sin（x+φ）]圖像.那么，上述函數的解析式為[y=sinx-π6 ].

問題2：已知函數[y=sinx]，怎樣變換可以得到函數[y=sin2x-π6]？

分析：該問題需要分為兩步.第一步，將函數[y=sinx]變換為[y=sin2x]，變換方法為將函數[y=sinx]橫坐標參數縮減[1ω]，即可得到[y=sinωx]圖像.在該題中，需要將[y=sinx]變為[y=sin2x].故函數的橫坐標縮減了[12 ].第二步，將[y=sin2x]變為[y=sin2x-π6]，即向右平移[φω=π62=π12]個單位，最終得到問題的答案.

問題3：已知函數[y=sin2x-π3]，如何通過平移變換得到[y=sin2x-π4]？

分析：三角函數平移的核心是將[y=sinx]的原始函數作為中介參數，并進行系統的平移變換.[y=sin2x-π3=sin2x-π6→y=sin2x-π4=sin2x-π8]向右移動[π6-π8=π24]單位而得到.

通過以上問題，促使學生能夠在軟件操作中了解[A]、ω、φ參數與平移的關系（[A]的變化即原函數的縱坐標變為[A]倍），并結合繪圖軟件與理論的整合操作，促使學生能夠很快地掌握三角函數的變化規律.最后，教師需要對三角函數的圖像性質進行講述，引導學生在不同問題的分析過程中得到基本結論，提高學生的數學能力.

（三）函數“系數”的教學

在復習有關用待定系數求解函數解析式的內容中，教師需要系統地講述一次函數、二次函數、正比例函數、反比例函數的相關知識，可通過“問題串”進行展示.

問題1：函數[y=kx（k≠0）]過點[A]（1，4），則該函數的解析式為 .

分析：引導學生回顧有關正比例函數的知識，通過將A點代入正比例函數，求出[k]值，即[4=k×1]，所以[k]=4，那么該函數解析式為[f（x）=4x].

問題2：函數[y=kx（k≠0）]過點[A]（1，4），則該函數的解析式為 .

分析：主要引導學生對反比例函數的基本形式[y=kx（k≠0）]和[k=xy（k≠0）]進行了解，并將點[A]代入，求出[k]值，即[k=1×4=4]，該函數解析式[y=4x].

問題3：函數[y=kx+b（k≠0）]過點[A]（1，4），則該函數的解析式為 .

問題4：函數[y=ax2+bx+c]過點[A]（1，4），則該函數的解析式為 .

分析：在對問題3、問題4的問題探索中，學生發現僅將點A代入函數解析式，不能直接求解未知參數的值.此時需要提出“待定系數”.如，在問題3中加入條件：函數也經過點B（2，3）.那么可以轉化為[k+b=42k+b=3]的方程組，解得k=-1，b=5.故問題3的函數解析式為[y=-x+5].對于問題4的函數解析式求解，學生發現僅添加一個條件不能解決解決三元一次方程組，因此還需要添加一個條件，如條件“[c=0]”.那么可以將其轉化為[c=0，a+b+c=4，4a+2b+c=3，]解得[a=-52]，[b=32] .那么問題4的函數解析式為[y=-52x2+32x].

“問題串”教學的有效拓展能夠促使學生將未知知識與已知知識進行整合，促使學生從不同的角度進行數學問題的理解，進而使學生的數學思維、數學分析與運用能力得到有效提升.同時，該方法能夠體現學生的主體地位，彰顯自主探索為中心的價值，促進學生數學核心素養的提高.

[? 參? ?考? ?文? ?獻? ]

[1]? 孫靜.高中數學“問題串”教學的實踐研究[D].石家莊：河北師范大學，2016.

[2]? 晏華東.數學課堂“問題串”教學模式的研究[J].新課程（中學），2016（3）：368-369.

（責任編輯? ?黃桂堅）