由圓的兩條性質(zhì)所想到的

石磊

【中圖分類號】G633.3 ??????【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）15-0266-01

圓有兩個很重要性質(zhì)：

性質(zhì)1：直徑所對圓周角為直角;

性質(zhì)2：圓內(nèi)任意一條弦的中點與圓心的連線垂直于這條線.

在解決直線與圓相交的問題時上述兩條性質(zhì)起到了很大的作用，而圓與橢圓又是“近親“，所以運用類比的思想筆者猜想橢圓也應(yīng)有類似的結(jié)論：

結(jié)論1：若AB是過橢圓x2〖〗a2+y2〖〗b2=1（a>b>0）的中心的任意一條弦，橢圓上任意一點P，若直線PA，PB的斜率都存在不為0分別設(shè)為k1，k2，則k1，k2=-b2〖〗a2。

證明：如圖1，AB為過橢圓x2〖〗a2+y2〖〗b2=1（a>b>0）中心的任意一條弦，P為橢圓上任意一點，

設(shè)PA所在直線斜率為k1，PB所在直線的斜率為k2，且斜率存在不為0，

P（x0，y0），A（x1，y1），B（-x1，-y1）則有：

k1=y1-y0〖〗x1-x0，k2=-y1-y0〖〗-x1-x0，

k1k2=y1-y0〖〗x1-x0·-y1-y0〖〗-x1-x0=y20-y21〖〗x20-x21=b2（1-21〖〗a2）-b2（1-x20〖〗a2）〖〗x20-x21=-b2〖〗a2

結(jié)論2：若AB是橢圓x2〖〗a2+y2〖〗b2=1（a>b>0）的任意一條弦，M為AB中點，O為橢圓的對稱中心，直線AB，OM的斜率存在不為0分別設(shè)為k1，k2，則k1k2=-b2〖〗a2.

證明：如圖2，AB為橢圓x2〖〗a2+y2〖〗b2=1（a>b>0）的任意一條斜率存在且不為0的弦，不妨設(shè)

直線AB的方程為y=k1x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）將A，B代入到橢圓方程中有：〖JB（{〗x21〖〗a2+y21〖〗b2=1

x22〖〗a2+y22〖〗b2=1〖JB）〗兩式作差得x21-x22〖〗a2+y21-y22〖〗b2=0化簡得：

（x1-x2）（x1+x2）〖〗a2+（y1-y2）（y1+y2）〖〗b2=0由已知x1≠x2，x1+x2≠0兩邊同時除以（x1-x2）（x1+x2）得：

1〖〗a2+（y1-y2）（y1+y2）〖〗b2（x1-x2）（x1+x2）=0得到：1〖〗a2+（y1-y2）〖〗b2（x1-x2）2y0〖〗2x0化簡得：1〖〗a2+1〖〗b2k1k2=0所以k1k2=-b2〖〗a2.

〖XC63.JPG;%25%25〗

圖1 ??????????圖2

焦點在x軸上的橢圓有上述的結(jié)論，那么焦點在y軸上的橢圓也有這樣的結(jié)論：

結(jié)論3：若AB是過橢圓y2〖〗a2+x2〖〗b2=1（a>b>0）的中心的任意一條弦，橢圓上任意一點P，若直線PA，PB的斜率都存在不為0分別設(shè)為k1，k2，則k1k2=-a2〖〗b2。

結(jié)論4：若AB是橢圓y2〖〗a2+x2〖〗b2=1（a>b>0）的任意一條弦，M為AB中點，O為橢圓的對稱中心，直線AB，OM的斜率存在不為0分別設(shè)為k1，k2，則k1k2=-a2〖〗b2.

證明同結(jié)論1，結(jié)論2.

〖XC64.JPG;%25%25〗

圖3 ???????????????圖4

有上述猜想后筆者又聯(lián)想到，橢圓與雙曲線又是一對“近親“，如果可以根據(jù)圓的性質(zhì)得到橢圓的一組結(jié)論，筆者猜想雙曲線也應(yīng)有類似的一組結(jié)論：

結(jié)論5：若AB是過雙曲線x2〖〗a2-y2〖〗b2=1（a>0，b>0）的中心的任意一條弦，雙曲線上任意一點P，若直線PA，PB的斜率都存在不為0分別設(shè)為k1，k2，則k1k2=b2〖〗a2。

證明：如圖5，AB為過雙曲線x2〖〗a2-y2〖〗b2=1（a>0，b>0）中心的任意一條弦，P為橢圓上任意一點，

設(shè)PA所在直線斜率為k1，PB所在直線的斜率為k2，且斜率存在不為0，

P（x0，y0），A（x1，y1），B（-x1，-y1）則有：

k1=y1-y0〖〗x1-x0，k2=-y1-y0〖〗-x1-x0，

k1k2=y1-y0〖〗x1-x0·-y1-y0〖〗-x1-x0=y20-y21〖〗x20-x21=b2（x21〖〗a2-1）-b2（x20〖〗a2-1）〖〗x20-x21=b2〖〗a2

結(jié)論6：若AB是雙曲線x2〖〗a2-y2〖〗b2=1（a>0，b>0）的任意一條弦，M為AB中點，O為雙曲線的對稱中心，直線AB，OM的斜率存在不為0分別設(shè)為k1，k2，則k1k2=b2〖〗a2.

證明：如圖2，AB為雙曲線x2〖〗a2-y2〖〗b2=1（a>0，b>0）的任意一條斜率存在且不為0的弦，不妨設(shè)

直線AB的方程為y=k1x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）將A，B代入到雙曲線方程中有：〖JB（{〗x21〖〗a2-y21〖〗b2=1

x22〖〗a2-y22〖〗b2=1〖JB）〗兩式作差得x21-x22〖〗a2-y21-y22〖〗b2=0化簡得：

（x1-x2）（x1+x2）〖〗a2-（y1-y2）（y1+y2）〖〗b2=0