不要急著給π取值

徐盈盈

[摘 要]在計算圖形的面積和體積時，一般只要將各項數值代入公式就可以準確計算出結果，但是與圓形相關的一系列計算都繞不開一個棘手的問題，那就是圓周率[π]的近似值，因為[π]是小學生接觸到的第一個無理數。給出在計算過程中對[π]的代換、抵消、簡化的技巧，幫助學生正確認識[π]。

[關鍵詞][π]的取值;操作;試驗 ;感悟

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）14-0025-02

盡管十二冊“實踐活動”這一課已經上過很多次，但每次備課筆者都會產生新的疑問——“這個實踐活動探究的價值在哪里？”“怎么才能有條不紊地安排4個活動？”大家給出的意見是：讓學生通過操作認識到側面積相同的圓柱體體積未必相等的教學創意不錯;盡管能夠利用計算器速算，但是一旦啟用計算器，規律就會被隱藏。聽取了同事的意見后，筆者開始重新審視這節課。

一、試教中的新發現

不管“水有多深”，只有親身“下水”，才能發現“π取近似值”妨礙了探究活動的展開。

活動：準備四張一模一樣的長方形紙，長16cm、寬4cm。取出其中兩張長方形紙，一張橫向卷曲成圓柱體，另一張縱向卷曲成圓柱體。問：兩個圓柱的體積相等嗎？先猜想，再驗算。

當長方形紙片橫向卷曲（沿著長卷）成圓柱體時，如圖1所示，得到的圓柱體中，長方形的長演化為圓柱體底面的周長，即圓柱體底面周長C=16cm，長方形的寬演化為圓柱體的高，圓柱體高h=4cm。[4cm][16cm][4cm][圖1]

根據本單元的教學目標，在計算圓柱的底面半徑、表面積和體積時，公式中的圓周率π一律要取近似值。因為圓周率的近似取值，使得每個學生在計算制成的圓柱體紙筒的底面半徑、表面積和體積時，得到的結果也不同。如本題要計算圓柱體紙筒的底面半徑，按課本中一般保留π的兩位小數的明文規定，半徑r=16[÷]2π=2.547707…≈2.55（cm），然后再計算出圓柱體紙筒的體積V=πr[2]h[≈]3.14[×]2.55[×] 2.55[×]4=81.6714≈81.67（cm[3]）。

同理，當長方形紙筒豎直起來卷（沿著寬卷） 成圓柱體時（如圖2），長方形的寬演化成圓柱的底面周長，圓柱體底面周長C=4cm，長方形的長演化為圓柱體的高，圓柱體高h=16cm。此時圓柱體底面半徑r=4[÷]2π=0.6369…[≈]0.64（cm），圓柱體體積V=πr[2]h[≈]3.14[×]0.64[×]0.64[×]16=20.578304[≈]20.58（cm[3]）。

將得到的各項數據整理如下：

可以發現：用兩種方式卷長方形紙，得到兩個不同的圓柱形紙筒，它們的底面周長、高、側面積都是精確值（整數值），二者的元素聯系非常明顯。不管是橫向曲卷還是豎直曲卷，制成圓柱形紙筒的側面積相等，都等于長方形紙張的面積，而圓柱體的底面周長，橫向曲卷時是縱向曲卷時的4倍，高則恰好相反，可底面半徑、體積之間卻沒有這種對應的數量關系。面對這種情況，是否該對學生直言相告：橫向曲卷的圓柱體的底面半徑和體積約為縱向曲卷時的4倍，而非剛好4倍，是因為求值時對圓周率[π]取了近似值？既知如此，何必當初！

因為[π]取了近似值，原本直觀的規律不存在了，還能繼續引導學生去尋找、檢驗已被破壞的規律嗎？這不是偽證嗎？就算使用計算器，還是一樣找不出嚴謹準確的規律！實踐活動的目標“研究圓柱體體積的變化，引導學生總結規律，加深對圓柱表面積、體積的認知，并感受數量的轉化關系”如何實現？難怪大家都嘆息“想要說清不容易”，最終只能遺憾地舍棄！

二、課后思考

在做應用題時，圓周率π通常取近似值，演算時把π置于代數式最后一項，可以通過觀察代數式的全貌特征進行簡化，這個道理早在第十一冊就已經被學生理解并運用。那只是圓周率π在乘法算式中的簡化抵消方法，如：3.14[×]3[×]3=9[×]3.14=28.26。如今圓周率π要作為除式的分子，又該怎么應對？筆者的處理方式是：把圓周率[π]的取值置于最后一步，或者將圓周率π原封不動留存于算式中，讓結果帶字母π。

如圖2，當橫向曲卷長方形紙時，制得的圓筒底面周長C=16cm，高h=4cm，先據此推算出底面半徑r。

r=C[÷]2π=[162π]=[8π]（cm）。（[π]不參與計算，用含π的分式表示得數）

V=π[×]（[8π]）[2][×]4=π[×][8π][×][8π][×]4（[π]仍不參與計算，可約分去掉一個[π]）=[256π]（cm[3]）。約分后最簡代數式是含有無理數符號π的分式。

同樣，當縱向曲卷長方形紙時，制得的圓筒其底面周長C=4cm，高h=16cm。那么半徑r=C[÷]2π=[42π]=[2π]（cm），V=π[×]（[2π]）[2][×]16=π[×][2π][×][2π][×]16=[64π]（cm[3]。）

把分別橫向、縱向曲卷長方形紙得到的圓柱體的五項數據進行對比，如下表：

觀察表內數值，“[8π]正好是[2π]的4倍”“[256π]正好是[64π]的4倍”……規律顯而易見。

三、實踐感悟

不著急給π取值，學生就能探究出轉化后的數量之間的規律：（1）當圓柱體的側面積不變時，圓柱體的底面周長與底面積和體積的大小變化相同;（2）當圓柱體的側面積不變時，圓柱的底面周長與高的大小變化相反。圓柱的底面周長擴大（縮小）4倍，高就隨之縮小（擴大）4倍;（3）當圓柱體的側面積不變時，圓柱體的底面周長與半徑、體積的大小變化相同。圓柱體的底面周長擴大（或縮小）4倍，它的半徑就同向伸縮4倍，體積也同向伸縮4倍。

不僅如此，還有意外的驚喜，如：高的“作用力”以及半徑平方的幾何倍增作用相互制約。在計算圓柱體體積時，因為“體積=π[×]半徑[2][×]高”，所以一個圓柱體的體積既受到半徑的計值作用，也受到高的計值作用。在這個操作過程中，從橫向曲卷到縱向曲卷，高雖然擴增4倍，底面半徑縮小4倍，但是由于半徑要平方，也就是連續做兩次乘法，擴增互相抵消一次后，結算下來，體積仍是縮小了4倍。

用式子表述如下：

[V橫]=π[×]r[2][×h]

[V縱]=π[×]（r[÷]4）[2][×]（h[×]4）=[π][×][r216][×]h[×]4=[π][×]r[×]r[×h][÷]4=（π[×]r[2][×][h]）[÷]4

因此，[V縱]=[V橫][÷]4。

也有少數學生迫不及待地算出近似值，最終確認兩個近似結果之間近乎4倍不是正好為4倍。但在筆者提出質疑后，學生馬上找到其中的原因——因為都取了近似數。可見，用帶無理數符號[π]的式子直接代表計算結果更便于揭示規律。

（責編 童 夏）