對一道數學習題的探究

顧宣松

[摘 要]數學教學中難免會遇到一些令人棘手的問題，這些問題有時甚至是有爭議的，各種信息撲面而來，各種解法相互沖突，教師要保持冷靜、深思熟慮，用審慎嚴謹的科學態度將問題搞清楚，然后再用學生容易接受的方法將問題講清楚。

[關鍵詞]習題;查閱;教輔資料;網絡

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）14-0033-01

在一次數學綜合測試中出現了這樣一道幾何題：在長12.4 cm、寬7.2 cm的長方形卡紙上剪出一些半徑為1 cm的圓，最多能剪出多少個這樣的圓片？

許多學生認為是“18個”，他們認為在長方形卡紙上可以切割出6[×]3，即18個邊長為2 cm的正方形，而每個正方形恰好是對應半徑為1 cm的圓形的最小外切正方形，可剪出一個標準圓，即可剪出18個圓片。還有的學生進行數據分析，最后算出最多可以裁剪出“28個”圓，他們先算出長方形的面積12.4[×]7.2=89.28（cm2），然后求出一個標準圓的面積3.14[×]1[2]=3.14（cm2），最后用總面積除以單個圓片的面積，即89.28[÷]3.14[≈]28.43[≈]28（個）。很顯然在實際操作中，于長方形卡紙上裁剪圓片，圓片與圓片之間必然會留有空隙，會有大量的、分散的邊角余料，所以得數“28個”是不符合實際的。那么，到底能剪出多少個圓片呢？筆者針對這一問題進行了實踐研究和科學論證。

一、綜合參考教輔資料

査閱教師教學用書和一些權威教輔資料后發現，在長方形卡紙上裁剪圓片，兩個圓片之間必然會留有空隙，這些空隙累計起來就是廢料，所以用長方形的面積除以一個圓片的面積，得出的數據是不精確的，因此28個圓片是剪不出的。可行的方案是：先將長方形卡紙切分為邊長為2 cm的正方形紙片，則可得到一行6個、一共3行的方陣，共有18個正方形，每個正方形又可以剪出一個最大內切圓，這個內切圓的直徑剛好就是外切正方形的邊長——2厘米，這樣一算，恰好可以剪出18個圓。出于想辦法盡力減少空隙，或者巧妙利用圖形邊線的嵌合將圖形進行密鋪的目的，可進行如下操作：第一行排列6個圓片，第二行每個圓片都可以正好嵌入第一排兩個圓片之間，形成兩兩相切的形態，則第二行可以剪出5個圓片，盡管偶數排的圓片數量減少了1個，但是卻節省了大量空間，這樣平均算下來，每行圓片占據的垂直高度就不足2 cm（約為1.85 cm），寬為7.2 cm的長方形可容納這樣交錯嵌入的圓片4排，即6+5+6+5=22（個）。練習時，不妨先讓學生獨立思考，再通過畫圖驗證。由此可以看出，本題的正解是22個。

二、網絡查證與質疑

筆者上網檢索，發現網友也是眾說紛紜，各執己見。筆者在原有舊方案的基礎上，又得出一個新的方案。如圖1所示，AB=1，AC=2，△ABC是直角三角形，于是求得BC=[3]。長度分配上1+6[×][3]+1=12.3923<12.4，可以排下7列;在寬度分配上，2[×]3+1=7<7.2，每列3個，共可剪出圓片3[×]7=21（個）。

到底能不能剪出22個圓片呢？筆者決定動手試一試，先畫一個長12.4 cm、寬7.2 cm的長方形，剪出幾個半徑是1 cm的圓片，可是一旦用力擠壓圓片，圓片就會變形，影響測量，而且操作起來非常麻煩。對此，筆者用五角錢硬幣來代替。筆者將22枚五角錢硬幣按“6+5+6+5”進行拼擺，但擺來擺去，有幾枚硬幣總是超出邊線1～2 mm的距離。無論怎么調整位置，都無法消除這個尺寸差距，筆者不敢斷言一定能擺下22枚硬幣。此時筆者深感疑惑：是畫出的長方形尺碼不夠標準，還是測量工具有誤差，抑或是硬幣變形了？

三、實踐操作驗證

真相究竟如何呢？為了查明真相，筆者著手畫圖分析，試圖從幾何學的角度將問題搞清楚。筆者規規矩矩地畫了22個圓并連接頂層和底層三個圓的圓心，組成一個正三角形ABC，它的每條邊剛好是兩條半徑和兩條直徑連接而成（如圖2所示），于是有AB=AC=BC=6 cm，由點A作邊BC的高AD，根據三角函數或者勾股定理可以得出AD=[62-32]=[27][≈]5.196。從長度上進行分配，可擺放6列，6[×]2<12.4;從寬度上分配，減去正三角形的高度后，上、下各剩下一個半徑的間距，于是上、下總高度為1+5.196+1=7.196<7.2，由此可以判斷能剪出22個圓片。

回顧整個解題過程，筆者先在參閱資料時產生了一些獨特的見解;接著通過各種渠道，進一步深入研究;然后利用操作實驗小心求證;最后成功地找到正確答案。在一步步的探索與求證中，“真相”終于浮出水面。

（責編 黃春香）