何處得一“念”， “圖”中覓源頭

方重友　徐勇

數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決往往在一念之間，這“一念”一旦點(diǎn)破，問(wèn)題迎刃而解，這是數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的一個(gè)極為特殊之處，根本問(wèn)題是這“一念”是由別人點(diǎn)破還是自己攻破，別人點(diǎn)破則毫無(wú)價(jià)值，自己攻破對(duì)解題學(xué)習(xí)才有積極意義，在高考考場(chǎng)上，就是一個(gè)人在戰(zhàn)斗，高考題（特別是壓軸題）的求解更需要“迅速回答從何處下手、向何方前進(jìn)”，這“一念”必須是自己得，何處得這“一念”，可從核心知識(shí)導(dǎo)圖中覓得，核心知識(shí)導(dǎo)圖，是借助思維導(dǎo)圖來(lái)對(duì)題目中涉及的核心知識(shí)進(jìn)行加工、整合、鏈接的一種解題組織策略，幫助設(shè)計(jì)解題思維流程的工具.

高考后，考生對(duì)試卷的第13題的談?wù)撦^多，因?yàn)榈?題到第12題相對(duì)容易，而第13題感覺(jué)一下子提高了難度，且不正確的人也大有人在，筆者在高考后與考生交流一下對(duì)此題的看法，考生基本能在仔細(xì)審題后意識(shí)到：目標(biāo)是求最值，需先找出a與c的關(guān)系等式，再使用基本不等式求解.

1追問(wèn)不成功解法，缺失細(xì)思極恐

因AC平分∠ABC，則∠ABD= ∠CBD= 600，用余弦定理分別表示出AC，AD，CD，因?yàn)锳C=AD+CD，所以√a- +c2- +ac：√a2 +l-a+√C2 +l-c，但有三個(gè)根號(hào)，能算（平方后整理后再平方），但不想算，也不敢算，害怕費(fèi)時(shí)過(guò)長(zhǎng)而造成“隱性失分”，所以“策略性”放棄，

用余弦定理得到關(guān)于a，c的關(guān)系式√a2+c2+ ac=√a2 +l-a+√C2 +1-c，想法很好，但接下來(lái)的化簡(jiǎn)確實(shí)挺難、要求很高，有想法卻解不出，著實(shí)可惜，筆者與考生展開(kāi)簡(jiǎn)短的對(duì)話(huà)，一探考生備考的不足與缺失，

問(wèn)1：題中的角平分線(xiàn)除了你得到的將角一分為二，還能得到什么，課本上有關(guān)于角平分線(xiàn)的典型題目嗎？

答：角平分線(xiàn)還能得到點(diǎn)D到邊BA與BC的距離相等，不記得課本上的關(guān)于角平分線(xiàn)的題，

剖析對(duì)角平分線(xiàn)的認(rèn)識(shí)還停留在初中平面幾何的水平，不清楚課本中在講完正弦定理后的關(guān)于角平分線(xiàn)的典型例題，即角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，

問(wèn)2：你覺(jué)得解決此題會(huì)用到面積公式嗎？或者會(huì)使用向量嗎？

答：又沒(méi)讓求面積，肯定不會(huì)用面積公式，題中也沒(méi)涉及到向量，基本不會(huì)朝向量去想，

剖析學(xué)生眼中只有正弦、余弦定理，不能把面積公式與正弦、余弦定理等地位看待，當(dāng)然更談不上面積法的使用，課本中正弦、余弦定理的證明都用了向量工具，三角與向量關(guān)系密切，學(xué)生對(duì)向量的工具性的意識(shí)比較淡薄，

問(wèn)3：還記得正弦、余弦定理的證明過(guò)程嗎？

答：坦率地說(shuō)，真的記不得，其實(shí)只要知道正弦、余弦定理并會(huì)用就可以了，高考又不會(huì)考定理證明，

剖析只知定理內(nèi)容，不知不問(wèn)定理的推導(dǎo)過(guò)程，知其然，不知其所以然，功利且目光短淺，對(duì)定理的推導(dǎo)過(guò)程中涉及的思想方法視而不見(jiàn)，對(duì)不熟悉或稍難點(diǎn)的題目便顯得無(wú)從下手，同時(shí)，對(duì)高

考認(rèn)識(shí)不足，定理證明在高考中真的考過(guò)，陜西高考卷就曾考過(guò)余弦定理的證明，

簡(jiǎn)言之，考生至少有三個(gè)缺失，一是缺少可持續(xù)地解題能力;二是缺乏系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu);三是缺少優(yōu)選與發(fā)散的意識(shí)，若對(duì)題中涉及到的知識(shí)沒(méi)有一個(gè)系統(tǒng)的知識(shí)圖譜，便談不上思路的發(fā)散與方法的優(yōu)選，接下來(lái)，若解題時(shí)只有一種思路，在途中遇到困難，便不可能具有可持續(xù)地的解題能力.

2繪制核心知識(shí)導(dǎo)圖，念頭自然可覓

本題是解三角形與不等式融合的一道題，題中目標(biāo)是求最值，通法要先找出以與c的關(guān)系等式，再使用基本不等式求解，本題的重點(diǎn)及難點(diǎn)就在尋找以a與c的關(guān)系等式，有了關(guān)系等式，使用基本不等式應(yīng)該不是難事，我們可以對(duì)解三角形這塊內(nèi)容繪制核心知識(shí)導(dǎo)圖（如圖1）.

以上解法主要利用角平分線(xiàn)定理，主要落點(diǎn)在點(diǎn)D分線(xiàn)段AC為兩個(gè)部分，但角一分為二，角的具體值卻沒(méi)有運(yùn)用到位，若用到角的具體值，不難聯(lián)想到三角函數(shù)定義，即在直角坐標(biāo)系中運(yùn)用，于

張角定理把平面幾何和三角函數(shù)緊密相連，它給出了用三角法處理平面幾何問(wèn)題的一個(gè)頗為有用的公式，用它去解幾何題，適當(dāng)?shù)嘏浜先切蚊娣e公式、正余弦定理、幾何知識(shí)，可以大大簡(jiǎn)化解題步驟，問(wèn)題可以簡(jiǎn)捷獲解.

3“圖”聚課本核心知識(shí)，復(fù)習(xí)事半功倍

要熟練地掌握數(shù)學(xué)和科學(xué)知識(shí)，就要?jiǎng)?chuàng)造一些概念組塊，這是通過(guò)意義將分散的信息碎片組合起來(lái)的過(guò)程，把要處理的信息構(gòu)成組塊，可以使大腦更高效地運(yùn)轉(zhuǎn)，知識(shí)的碎片化、單一線(xiàn)性的，沒(méi)有呈現(xiàn)出結(jié)構(gòu)化、立體化，合理地運(yùn)用思維組塊，蘇聯(lián)教育家烏申斯基指出：“智慧不是別的，而是組織得良好的知識(shí)體系，”解題研究的一代宗師波利亞說(shuō)過(guò)：“貨源充足和組織良好的知識(shí)倉(cāng)庫(kù)是一個(gè)解題者的重要資本，”

在高三復(fù)習(xí)迎考中，不能單一地使用題海戰(zhàn)術(shù)，片面地進(jìn)行大量的模擬題訓(xùn)練，課本是高考復(fù)習(xí)之本，教師要帶著學(xué)生對(duì)課本進(jìn)行有效整合，核心知識(shí)導(dǎo)圖是復(fù)習(xí)利器之一，繪制如圖1的核心知識(shí)導(dǎo)圖，可聚集定理、重要結(jié)論、例題（習(xí)題）、證明方法、數(shù)學(xué)思想等，學(xué)生就如一個(gè)熟練工人將有關(guān)工具有條理地排列在工具箱（核心知識(shí)導(dǎo)圖）里，可以有效合理長(zhǎng)期保管起來(lái)，在處理有關(guān)問(wèn)題時(shí)可以做到游刃有余、左右逢源，復(fù)習(xí)便能跳出題海而事半功倍。

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