例談初中幾何“線段最值”問題的求解策略

李煥輝

初中幾何中的最值問題是指在一定條件下，求平面幾何圖形中某個(gè)意義明確的量（如線段的長(zhǎng)度、角度大小、圖形面積等）的最大值或最小值，幾何最值問題屬于中考題中的熱點(diǎn)問題，其中，求線段的最值問題是近幾年常見的題型，且這類問題內(nèi)容豐富，知識(shí)點(diǎn)多，涉及面廣，解法靈活多樣，具有一定的難度，本文擬例談這類問題的求解策略，

策略1利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”求線段最值

例1如圖1，圓柱底面半徑為2cm，高為9兀cm，點(diǎn)A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A，B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B，求棉線長(zhǎng)度最短為____.

解析要求圓柱體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的做法就是將圓柱體展開，然后利用“兩點(diǎn)之間線段最短”解答，如圖2，將圓柱展開后可見，棉線最短是三條斜線的長(zhǎng)度，第一條斜線與底面圓周長(zhǎng)、圓柱的三分之一高組成直角三角形，由周長(zhǎng)公式知底面圓一周長(zhǎng)為47ccm，圓柱的三分之一高為37cm，根據(jù)勾股定理，得一條斜線長(zhǎng)為57cm，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，棉線長(zhǎng)度最短為157ccm.

解析如圖6，連接BD可證明AABE ADBF，得到BE= BF，進(jìn)而證明出不論點(diǎn)E，F(xiàn)的位置如何變化，ABEF是正三角形，所以EF= BE，要求線段EF的最大（小）值，實(shí)際就是求線段BE的最大（小）值，由已知可知，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，即BE= BA=4時(shí)，此時(shí)為EF的最大值，又根據(jù)“垂線段最短”，當(dāng)BE上AD時(shí)，線段BE最小，即為EF的最小值，答案為2√3.

例5如圖9，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中， A= 600，點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)Ⅳ是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將AAMN沿MN所在的直線翻折得到Mn，連結(jié)AC，則AC長(zhǎng)度的最小值是，

解析連接MC，根據(jù)“三角形三邊關(guān)系：任意兩邊之差小于第三邊”，即，由于都是定值，所以根據(jù)圖形特征，只有當(dāng)A在MC上時(shí)，A'C才可取最小值，具體解題思路如圖10所示，答案為√7 -1.

策略4利用“直角三角形中的性質(zhì)”求線段最值

例6如圖11，在RtAAOB中，OA：OB：3，的半徑為l，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作的一條切線PO（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則切線PO的最小值為，

解析從近幾年中考看，動(dòng)線段的取值范圍求解經(jīng)常出現(xiàn)在試卷中，這種題型解法，首先要會(huì)分析判斷線段取最大（小）的位置情況，利用線段達(dá)到的極值情況去求范圍，本題由于點(diǎn)E G，H分別在正方形ABCD邊AB， CD，DA上運(yùn)動(dòng)，四邊形EFGH是菱形，所以可判斷當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)線段EH= GH最大，線段DG也最大，從而線段GC最小;當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，此時(shí)線段GH=EH=4最小，線段DG=0也最小，從而線段GC：6最大，答案為6—2√6≤GC≤6.

總之，線段最值問題（或線段取值范圍）的解題關(guān)鍵就是要結(jié)合題意，借助相關(guān)的概念、圖形的性質(zhì)，將最值問題轉(zhuǎn)化成相應(yīng)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析與突破，