高等數學背景下的導數問題舉例

倪紅林

高考中的導數問題，一般只是利用求導的方法來研究函數的單調性，進而研究函數的極值或最值問題，也就是說利用的是高等的方法，但研究的還是初等函數問題，本文筆者試圖嘗試利用高等數學的方法，在高觀點之下，研究某些難度稍大的函數問題，而且這些問題本身就有高等數學的背景，希望能為解決這類壓軸問題提供一些有益的思路，

評注1本題的第（3）問本質上是利用判斷函數的單調性來解決不等式的問題，這是一種很經典且有效的處理方法，

評注2 （1）由于F（x）在區間上并不存在最小值，故我們利用洛必達法則來估計F（x）在x=0處的值，以此來估計F（x）的最小值，這是利用極限的思想來處理函數在具有唯一單調性的開區間上的取值范圍問題.（2）這里之所以用洛必達法則，原因在于當x=0時，F（x）無意義，且當時，e正好可以符合洛必達法則，

所以x=√2是一個類對稱點的橫坐標，

通過以上范例的分析知道，微分法是研究初等函數單調性的有效方法，本文直接利用導數的定義來求導函數的值域，以及利用極限的思想來處理函數在具有唯一單調性的開區間上的取值范圍問題，