“切出”算式的結果

賈玉文

筆者有幸參加了2018年烏蘭察布市教育局落實“三區”人才支持計劃“千名專家服務基層”赴化德縣送教下鄉活動，我執教了人教版《數學》六年級上冊第八單元《數學廣角——數與形》一課。

本課旨在借助圖形的直觀模型解釋抽象的數學原理與事實，實現以下教學目標。

一、借助“數”“形”關系，尋找隱藏的規律。

二、通過對圖形的觀察與操作，應用發現的規律。

三、在探索過程中，感悟數形結合、歸納推理、極限等基本的數學思想，感受數學之美。

【教學重點】

通過自主探究發現圖形中隱藏著的數的規律，并會應用所發現的規律。

【教學難點】

利用圖形來解決一些有關數的問題。

【課前準備】

課件、黑板貼、正方形或圓形紙張。

【教學設計】

一、借助圖形找感覺

（一）創設情境，導入新課

師：前面x老師多次帶大家走進數學廣角，今天由我和同學們再次走進奇妙無窮的數學廣角——數與形。（板書課題）

師：大家歡迎嗎？

生：歡迎！

師：歡迎數學廣角還是賈老師？還是后面的聽課老師？

生：（笑著說）都歡迎！

（二）課前熱身，復習鞏固

師：請大家觀察圖形，寫出相應的分數。用課件逐一出示、、、，并分別口算出這些算式的和。（+= 、++= 、+++= ）

板書：+++

師：如果按照這樣的規律誰能寫出下一個分數？（生：）還能寫一個嗎？（生：）

完善板書：++++++

師：如果繼續往下加，你還愿意往下寫嗎？

生：（搖頭）不愿意。

師：（驚訝地）為什么？

生：后面有無數個分數，寫不完。

師：寫不完的是算術，寫得完的是代數。誰來把這道題稍作修復，變成一道求無限個加數和的算式？

“…=”生板書。

師：（微笑著）妙哉！妙哉！此處還沒掌聲呀？

（課堂上，生熱烈地掌聲）

（三）學習例2：++++++…=

師：這三個點表示？

生：表示后面有無限個加數。

師：（疑惑地）呀，省略號是六個點，怎么是三個點呢？

生1：這是我在一本數學課外書學到的，這可能是數學學科的規定吧。（師生微笑）

生2：我們的數學書上也是這樣寫的。 （同學們笑了）

師：所謂老師，就是走在我們的前面。（倆同學不好意思地低下頭）好了，我們重新來審視這道算式，它有什么特點？大家能發現什么規律？

生1：這列算式，前一個分數是后一個分數的2倍。

師：還有不同說法嗎？

生：2：這些分數的分子都是1，后一個分數的分母都是前一個的2倍。

師：誰能把這兩句話合并成一句話？

生3：后一個分數是前一個分數的。

師：精準！那算式中的省略號是？

生1：后邊還有很多分數。

生2：也可以說后面有無數個分數。

師：“無數個”就是沒有盡頭的意思。按照這樣的規律無限地加下去，怎樣計算這個算式的和呢？

（學生沉默，教室里一片寂靜）

師：同學們，到目前為止，這是我們首次遇到計算無數個加數的和，對吧？（老師故意設置懸念，激發學生興趣）

生：對！

師：同學們對這道題沒感覺是吧？（學生點頭）沒關系！下面，我們要經歷一次像數學家那樣探究數學的旅程，我們可以先借助圖形來找一找感覺。

二、操作圖形談感受

（一）利用練習紙，分組操作圖形

提示：請同學們一邊觀察算式，一邊在你選擇的圖形中折（或畫）出它的，在的基礎上加上它的，再加上它的，按照算式的要求一直加下去……觀察所折（或畫）的圖形，看能否找到這列算式的結果。

師：小組合作，給大家3分鐘的時間，可以嗎？計時開始。（老師巡視、指導）

（二）分組展示、匯報

1.師：時間到！哪個小組先來匯報你們的操作過程？

請大家觀察這組同學先通過平分找到正方形的，然后在的基礎上又做了什么？

生：繼續平分，加上、、、…

師：如果繼續往下加，下一個數加在哪里？

生：加在空白部分。

師：算式的意思就是在空白處不停地加下去。（學生點頭）

2.師：再看這組同學用圓形表示的，他先找到圓形的，然后加上，再加…算式中的省略號表示哪里？

生：右邊的空白處。

師：怎么沒有、、這些分數呢？

生：我們知道這些分數就在省略號的位置不斷加下去，另外，時間不允許。（學生們自發鼓起掌來）

師：省事省時。感受一下，這樣一直加下去，和應該是多少？

有幾位學生指出和等于1，大部分學生認為和無限接近于1。

3.師：那我們繼續觀察這組用線段表示的算式，過程同上。

師：老師的手也癢癢的，想演示一下加的過程，可以嗎？

（課件出示：圓形模型和線段模型來表示“1”）

師：按這樣的規律加下去，和是多少？

生：我認為和是1。

生：我覺得和是無限接近于1。

學生意見還不統一，又相互爭論起來。

師：我是這樣理解的，大家剛才在圓上或線段上分別有規律地表示出這些加數，當這個過程無止境地持續下去時，所有的扇形和線段就會把整個圓和整條線段——

生1：畫完。

生2：折完。

生3：占完。

生4：占滿。

…

師：即這些數相加之和為——

生：1。（多數同學認為）

課件出示：++++++…=1

師：從圖上可以看出，這些分數不斷地加下去，總和就是1。理解嗎？

（還有學生搖頭。）

三、數形結合尋感悟

師：大家的眼神告訴老師，還有同學沒有完全理解這個算式為什么等于1，因此在感情上還無法接受這個結果。沒關系！因為這個問題太難了（學生笑了），在前面推導圓面積的公式也用到這個極限數學思想，同學們到了初中、高中時還要繼續學習。今天我們研究這個問題的目的，是在尋求它等于幾的過程中體會數和形之間的關系。回頭看我們的探究過程，剛開始同學們看到這樣一個算式，不知道等于幾，誰幫助我們找到了這個方向，找到了這種感覺，也找到了“和”與1有關系？

生：圖形！

師：同學們，數和形有關系，你們覺得數和形之間有著怎樣的關系？

生：數與形關系非常密切。（同學們笑了）

生：你中有我，我中有你，互相幫助，配合默契。

（教室里響起熱烈的掌聲）

師：把數與形的關系描述地太形象了！好學生的標準：一積極思考，二勇于表達！同學們思考一下，在數與形互助的過程中，數的優勢是什么？形的優勢呢？

生：數是準確的，形是直觀的。（或一目了然）

師：對！“數”能更精準地表達事物，“形”能更直觀地表達事物。其實，我國的數學家（出示華羅庚圖）——華羅庚爺爺很早就闡述過數與形的內容：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”你能理解其中的含義嗎？

生：有數無形，看不出來;有形無數，難算出來。（全班同學都笑了）

師：理解得太到位啦！看來形能直觀，數能入微。所以，后面還有兩句話，請同學們讀一讀。（課件出示）

生：“數形結合百般好，隔離分家萬事休。”

師：如果將數、形分家，什么事都做不了。所以，我們要將數與形——（完美）結合！只有數形的完美結合，我們才能走進數學的神秘世界，尋找它的有趣規律，就會感受到數學的無窮魅力！

（板書：完美結合、魅力無窮）

師：大家想不想檢驗一下自己本節課的學習效果？

生：想！

四、動手操作觸感觀

（一）應用規律

課件出示：1------…=

（提示：折紙或畫圖）

師：請同學們觀察算式，大家理解算式中省略號的意思嗎？誰來談談自己的看法？

生：省略號的意思就是要不斷地減下去，要減去無限個分數。

師：大家同意嗎？你們知道下一個要減去哪個數？

生：根據這列算式的規律，下一個減去的分數應該是。

師：既然大家明白算式中省略號的意思，那我們怎樣來計算這列算式的差呢？找誰幫忙？

生：找老師！（師生都笑了）

師：剛才我們在計算一列分數的和時，是誰幫助我們找到算式的規律？

生：圖形！（幾位同學齊聲說）

師：好！我們再來借助圖形試著折一折、畫一畫。

（學生借助圖形，小組討論，尋找算式結果）

師：哪位同學來說一說自己的看法？

生：老師，我覺得這道題沒結果！我們組是借助長方形圖形來探究算式的結果，不管減去多少個分數，始終還有剩余，可這個余下的分數仍然不是最終的結果呀。

師：大家展開想象，如果按照這樣的規律無限地減下去，請同學們觀察圖形，猜一猜最后的結果可能是多少？

同學們沉默了。

“是0吧？”一位同學小心翼翼地說。

師：現在請同學們和老師做一個實驗，來推導這列算式的差。

（老師出示一個蘋果，一把水果刀）

師：同學們，一個蘋果減去它的，你們覺得怎么切？剩下這個蘋果的多少？

生1：把一個蘋果平均切成兩份，剩下這個蘋果的。（一位快嘴的同學說）? 老師把切下蘋果的獎勵給這個快嘴的同學。（同學們羨慕那個講解的同學）

師：接著要減去這個蘋果的，又怎么切？這時剩下這個蘋果的多少？

生2：把剩下的蘋果再平均分成兩份，余下這個蘋果的。

（老師又把切下蘋果的獎給講解的同學）

師：繼續減去這個蘋果的呢？剩下這個蘋果的多少？

生3：把余下這個蘋果的平均分成兩份，剩下的就是這個蘋果的。

老師小心謹慎地切出這個蘋果的又獎給講解的同學。同學們看著老師手里的蘋果，都笑了。

師：同學們笑什么？

“老師手里的蘋果越來越小。”學生幾乎齊聲說。

師：如果減去這個蘋果的呢？剩下這個蘋果的多少？

生4：把余下這個蘋果的繼續平均分成兩份，剩下這個蘋果的。

老師拿起水果刀，盯著的蘋果，做出難為情地樣子。

生：小心手！老師不要切啦，這樣做太危險，我明白最后的結果！

師：（驚訝地）什么？說來聽聽。

生：如果這樣不斷地減下去，那么就得無限地切下去，最后老師手里的蘋果終于切沒了，所以這列算式的差應該等于“0”。

“謝謝這位關心老師、大膽猜想的同學！我們還切蘋果嗎？”老師問。

“不用啦！”學生答。

師：“這的蘋果——”

“獎給你！” 同學們手指講解的學生齊聲說。

教室里響起熱烈的掌聲……

“數形結合真好玩！水果刀幫我們‘切出了算式的結果。”一生說。