高中數(shù)學(xué)必修教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容的比較研究*
——以人教A版和北師大版為例

☉太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系 王保紅

☉太原師范學(xué)院教師教育學(xué)院 郭甜甜

☉太原師范學(xué)院教師教育學(xué)院 陳夢瑤

一、問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中明確提到：“數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史、應(yīng)用和趨勢”，“要在高中數(shù)學(xué)教材及數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透有關(guān)數(shù)學(xué)史的內(nèi)容”.新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》凝練了學(xué)科核心素養(yǎng)，強(qiáng)調(diào)“將數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)，有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)，有利于開拓學(xué)生視野、提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).”顯然新舊課標(biāo)都提倡將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化有效融入數(shù)學(xué)教學(xué)之中.數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)得以落實(shí)的重要承載體，是實(shí)施課堂教學(xué)最重要的保障和資源.近年來，HPM（History&Pedagogy of Mathematics，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育）領(lǐng)域已經(jīng)對數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化內(nèi)容進(jìn)行著積極的探索.正如汪曉勤教授指出的“人們在探討數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間關(guān)系的時(shí)候，關(guān)注較多的是教學(xué)三角形的其中兩個(gè)頂點(diǎn)——教師和學(xué)生，而對于第三個(gè)頂點(diǎn)——數(shù)學(xué)課程卻較少涉及.事實(shí)上，‘?dāng)?shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教材’已成為HPM的重要課題.”

通過對現(xiàn)有文獻(xiàn)的研讀發(fā)現(xiàn)，針對高中數(shù)學(xué)必修教材中的數(shù)學(xué)史相關(guān)研究主要有：（1）對數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教材的呈現(xiàn)方式及運(yùn)用方式的研究和分析；（2）對數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教材課程的理論探究和教學(xué)實(shí)踐探究；（3）對高中數(shù)學(xué)教材中某一知識(shí)點(diǎn)融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)進(jìn)行探究；（4）對現(xiàn)行教材中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容進(jìn)行比較研究（包括我國教材之間及國內(nèi)外教材之間的比較）.本文選取現(xiàn)行教材中的人教A版和北師大版高中數(shù)學(xué)必修教材，對其中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容進(jìn)行對比研究，以期豐富第（4）類研究并從中得到一些建議和啟示.

二、高中數(shù)學(xué)必修教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容的比較

1.兩版教材中數(shù)學(xué)史的內(nèi)容分布

針對人教A版和北師大版高中數(shù)學(xué)教材，按照兩版必修1-5共十本教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容的呈現(xiàn)章節(jié)、頁碼、位置、內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析（見表1）.

表1 人教A版和北師大版高中數(shù)學(xué)必修教材中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容統(tǒng)計(jì)表

整體來看，人教A版必修五本教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容共有42處，每冊出現(xiàn)的次數(shù)分別為5，9，16，3，9，平均每冊出現(xiàn)8.4次，必修3中出現(xiàn)的次數(shù)最多為16次，占數(shù)學(xué)史總量的38.1%.北師大版必修五本教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容共有35處，每冊出現(xiàn)的次數(shù)分別為6，4，14，3，8，平均每冊出現(xiàn)7次，必修3中出現(xiàn)的次數(shù)最多有14處，占教材數(shù)學(xué)史總量的40.0%.具體情況見表2.因此，人教A版中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容多于北師大版教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容，且都是必修3，即對應(yīng)的“算法初步、統(tǒng)計(jì)與概率”模塊融入的數(shù)學(xué)史最多.

表2 人教A版和北師大版高中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)史按冊統(tǒng)計(jì)表

其次，兩版教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容呈現(xiàn)的位置均是閱讀部分最多；在例題、習(xí)題及復(fù)習(xí)題中的數(shù)學(xué)史總量北師大版多于人教A版，可以看出北師大版更加注重?cái)?shù)學(xué)史的應(yīng)用；從數(shù)學(xué)史內(nèi)容看，兩版教材都重視介紹核心概念的發(fā)展歷史和其中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，例如，兩版教材中都介紹了“函數(shù)”這一核心概念的發(fā)展，都介紹了“解析幾何”涵蓋的直角坐標(biāo)概念及它所體現(xiàn)出的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，都試圖通過對核心概念進(jìn)行歷史介紹使學(xué)生提高學(xué)習(xí)興趣，這也是近年來數(shù)學(xué)教科書的編寫理念的重大轉(zhuǎn)變——越來越顧及學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，也越來越注重構(gòu)建學(xué)習(xí)過程.

2.兩版教材中兩處典型數(shù)學(xué)史內(nèi)容比較分析

表1顯示人教A版和北師大版相同章節(jié)出現(xiàn)的相同數(shù)學(xué)史內(nèi)容有7處，為“函數(shù)概念的發(fā)展、對數(shù)的發(fā)明（北師大版包含在“歷史上數(shù)學(xué)計(jì)算方面的三大發(fā)明”）、笛卡兒與解析幾何、劉徽割圓術(shù)、歷史上有人做過的擲硬幣試驗(yàn)、海倫—秦九韶公式、趙爽弦圖”，但是呈現(xiàn)的內(nèi)容和角度有差異.考慮到前文分析兩版教材閱讀部分呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史最多，都注重對核心概念進(jìn)行歷史介紹，且在算法章節(jié)中數(shù)學(xué)史最多，故選取兩版教材中典型的“對數(shù)的發(fā)明”、“劉徽割圓術(shù)”進(jìn)行比較分析.

（1）“對數(shù)”是高中學(xué)習(xí)核心概念的一大重難點(diǎn)，對融入的“對數(shù)的發(fā)明”這一數(shù)學(xué)史內(nèi)容進(jìn)行比較分析.

人教A版呈現(xiàn)“對數(shù)的發(fā)明”路徑：

北師大版呈現(xiàn)“對數(shù)的發(fā)明（歷史上數(shù)學(xué)計(jì)算方面的三大發(fā)明）”路徑：

人教A版還原的內(nèi)容詳細(xì)，敘述較完整，圖文并茂，便于讀者從歷史的角度了解對數(shù)的概念和發(fā)展，且最后提出啟示；北師大版教材不僅講述了對數(shù)，還介紹了另外兩個(gè)關(guān)于數(shù)字計(jì)算的發(fā)明.對比發(fā)現(xiàn)，人教A版更注重?cái)?shù)學(xué)史的應(yīng)用性，避免“為史而史”，更好地發(fā)揮了數(shù)學(xué)史作為閱讀材料的教育功能.北師大版給出了較為豐富的知識(shí)，強(qiáng)調(diào)歷史的傳承，但是史料內(nèi)容都以文字?jǐn)⑹觯抑皇呛唵瘟_列，未涉及更深層次的內(nèi)容.近年來數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教材正不斷從“史學(xué)形態(tài)”向“教育形態(tài)”轉(zhuǎn)化，其根本目的在于發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教育功能，更好地服務(wù)于數(shù)學(xué)教學(xué).故從教育價(jià)值出發(fā)，更加提倡使用人教A版注重學(xué)生數(shù)學(xué)理解的方式融入數(shù)學(xué)史.

（2）兩版教材“算法初步”章都出現(xiàn)了“劉徽割圓術(shù)”，對這一數(shù)學(xué)史內(nèi)容進(jìn)行比較分析.

人教A版呈現(xiàn)“劉徽割圓術(shù)”路徑：

北師大版呈現(xiàn)“劉徽割圓術(shù)”在習(xí)題中，短短一句“查閱中國古代數(shù)學(xué)家劉徽割圓術(shù)求圓面積的有關(guān)資料，使用語言描述這種算法”，沒有呈現(xiàn)的路徑.

圖1 人教A版“劉徽割圓術(shù)”

人教A版中的內(nèi)容以“閱讀與思考”的形式出現(xiàn)，可以起到知識(shí)擴(kuò)展的作用，讓讀者了解“割圓術(shù)”和我國古代在圓周率發(fā)現(xiàn)過程中所做出的貢獻(xiàn)，醒目地插入了作者圖像，并介紹他的偉大貢獻(xiàn)（如圖1左），不僅使學(xué)生意識(shí)到圓周率數(shù)值的來之不易，還可以讓他們從中感受我國學(xué)者的偉大，體會(huì)民族自豪感，并且將所學(xué)知識(shí)與現(xiàn)代信息技術(shù)相結(jié)合（如圖1），讓學(xué)生感受到現(xiàn)代信息技術(shù)的力量，且潛移默化數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)；北師大版以習(xí)題的形式出現(xiàn)，和教學(xué)進(jìn)行了接軌，可以使學(xué)生在課后進(jìn)行知識(shí)擴(kuò)展，結(jié)合所學(xué)進(jìn)行思考，有利于學(xué)生進(jìn)行思維的發(fā)散，對激發(fā)學(xué)生興趣有一定作用.

三、結(jié)論與啟示

以往對初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)史研究中指出，應(yīng)當(dāng)豐富教材中數(shù)學(xué)史的呈現(xiàn)方式、注重教材中與概率和幾何相關(guān)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容還原、注重學(xué)情分析.這些結(jié)論對高中數(shù)學(xué)史內(nèi)容的分析仍有借鑒的價(jià)值.義務(wù)教育階段更強(qiáng)調(diào)吸引學(xué)生、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)，高中數(shù)學(xué)史的呈現(xiàn)不僅要顧及這些情感態(tài)度，更重要的是引發(fā)學(xué)生思考，體現(xiàn)一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng).本文對兩版高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容的比較分析，得出以下結(jié)論與啟示.

（1）凸顯數(shù)學(xué)史的史學(xué)特征，充分發(fā)揮其教育價(jià)值.

據(jù)上文分析兩版教材的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，傾向于人教A版的融入模式，注重學(xué)生思考，注重在材料中為學(xué)生提出啟示，從“對數(shù)的發(fā)明”和“割圓術(shù)”的分析中更加突出.數(shù)學(xué)問題設(shè)置是數(shù)學(xué)史“史學(xué)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”的“問題化”實(shí)踐路徑的策略之一.故在數(shù)學(xué)史融入教材過程中，應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)史料的縱向銜接來設(shè)置問題，注重?cái)?shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教育功能.

（2）利用數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教材促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí).

新課標(biāo)凝練的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)課程的統(tǒng)領(lǐng)，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析是數(shù)學(xué)思想的核心，是實(shí)現(xiàn)“立德樹人”目標(biāo)的必要保障.故可以在呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史時(shí)“借鑒古代數(shù)學(xué)家的思想與智慧，應(yīng)用圖說一體、幾何模型和經(jīng)典反例等實(shí)例來提高學(xué)生從直觀想象到推理論證和理解的能力，以逐漸培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)”.如人教A版“劉徽割圓術(shù)”采用了文字與圖片相結(jié)合的方式，清晰陳列了割圓術(shù)的發(fā)現(xiàn)過程，可以有效培養(yǎng)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)，其中還將數(shù)學(xué)史與現(xiàn)代信息技術(shù)相結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).因此，在數(shù)學(xué)教材中有效融入數(shù)學(xué)史可以培養(yǎng)和提高中學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).