讓學生在探究中提升數學核心素養

田仕芹

[摘 要]數學核心素養包括基礎層面的數學知識和技能，數學能力層面的數學運算、數學推理、數學抽象、數學直觀、數學建模、數據分析、數學交流，數學文化層面的數學精神、數學思想和數學方法。為提升學生的數學核心素養，教師要讓學生在探究中經歷概念的形成過程、抓住概念的本質特征，在命題學習中進行直觀感知類探究、現實情境類探究和操作活動類探究，并在習題探究中注重整體思維、動態思維、批判思維和發散思維的培養。

[關鍵詞]數學核心素養;概念;命題;習題;探究

數學素養一詞早在1956年《數學通報》刊登的一篇蘇聯文獻的譯稿中就已出現。從20世紀80年代起，在素質教育的進程中，提高學生的數學素養成為中小學數學教學的重要任務。當今世界各國教育都在聚焦對于人的核心素養的培養，小學階段又是基礎教育的重要學段，如何理解數學核心素養，又如何在小學數學教學中引導學生探究，進而提升學生的數學核心素養，是值得探討的問題。

一、數學核心素養的內涵和構成要素分析

數學教育學者關注數學核心素養的內涵和構成要素，從不同角度展開研究，比較有代表性的觀點有二。其中一種觀點側重能力。如馬云鵬認為，數學核心素養是學生通過數學學習應達成的有特定意義的綜合性能力，它既基于數學知識和技能，又高于數學知識和技能，是對數學本質與數學思想的反映和體現;史寧中重視數學學科的思維品質和關鍵能力，認為數學學科主要培養演繹和歸納的邏輯思維，培養相應的演繹和歸納推理能力。另一種觀點在重視能力的同時關注情感。如張奠宙認為，數學核心素養包括情感態度、價值觀，不只是數學能力;桂德懷、徐斌艷認為，數學核心素養是數學情感態度、價值觀、數學知識、數學能力的綜合體現。《義務教育數學課程標準（2011年版）》中多次出現“數學核心素養”，雖沒有明確界定數學核心素養這一術語，但其中提到的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創新意識卻是數學核心素養的表現。

盡管學界對數學核心素養的內涵與外延還沒有形成共識，但有些數學核心素養成分是數學教育者共同關注的。如，基礎層面的數學知識和技能，數學能力層面的數學運算、數學推理、數學抽象、數學直觀、數學建模、數據分析、數學交流，數學文化層面的數學精神、數學思想和數學方法。

數學知識與技能旨在使學生在解決常規、簡單的數學問題或實際問題過程中初步形成問題解決的意識和能力，是數學能力形成的基礎。數學運算有效整合運算技能和邏輯思維，促進學生提高了程序化思考問題能力、邏輯推理能力和思維靈活性;數學推理中的演繹推理促使學生養成尊重客觀事實的理性精神，合情推理促使學生養成敢于猜想的創新精神;數學抽象使學生在識別、歸納數學規律或數學問題的過程中形成抽象概括能力;數學直觀使學生在利用圖形描述和思考問題的過程中拓展問題解決的思路與方法，促進學生發散思維能力和直覺思維能力的形成;數學建模使學生在將實際問題轉化為數學問題，求解后在回歸實際問題的過程中體會數學與相關學科、社會生活的聯系，體驗數學的應用價值，形成應用數學的意識和能力;數據分析能力使學生在收集、判別、整合及運用信息和數據的過程中養成基于數據思考問題的習慣，形成理性思考和決策的能力;數學交流使學生在應用數學語言描述、表達、解釋數學事實的過程中增進對數學的豐富認知和積極情感，在與他人交流對數學知識、思想和觀念的理解的過程中加深對數學的理解，形成數學反思意識;數學精神有助于激發學生對數學的積極情感，提高興趣、增強意志，使學生形成正確的數學觀、學習觀、價值觀;數學思想與方法使學生在數學學習和問題解決過程中完善數學認知結構，養成數學思考能力。

二、讓學生在探究中提升數學核心素養

1.概念探究

數學概念學習是對數學知識的建構過程，它包括個體的自我建構以及個體與外部交流、協商、對話的互動建構。學生在建構數學概念時，需要以一個已經建構的數學概念或已有的生活經驗作為理解概念的邏輯起點，與某個數學概念相關的特定生活經驗是認識這個數學概念的認知根源。如對平行線的認識，城市里的學生會以鐵軌作為認知根源，鄉村里的學生會以田隴作為認知根源。恰當的認知根源是學生正確理解概念的基礎，教師要尋求符合學生實際情況的認知根源，促進他們理解概念、建構概念。

在概念探究中，要讓學生經歷感知、分析、比較和抽象的過程，以歸納方式概括出概念的本質特征，通過比較厘清概念之間的區別與聯系。例如，在教學“平行四邊形”時，先請學生觀察課件中的平行四邊形，獨立思考它們的共同特征，并與同桌交流;然后將學生分成4～5人一個小組，思考這些共同特征的驗證方法，并匯報展示;再請學生觀察課件中的平行四邊形、長方形、正方形、梯形和六邊形，厘清平行四邊形和長方形、正方形的區別與聯系。學生在觀察、思考、概括、分類、交流等探究過程中，感悟了平行四邊形的本質特征。又如，在教學“分數”時，可引導學生沿“比——一部分與另一部分之間的關系”和“數——以有理數形式出現的分數”兩條主線展開探究，其中會涉及四個層面：比率——部分與整體的關系和部分與部分的關系、度量——分數單位的累積、運算——一個運算的過程、商——分數轉化為除法之后運算的結果。學生在探究中獲得對分數意義的理解。

2.命題探究

數學中的命題，包括公理、定理、公式、法則、數學對象的性質等。教師要適當地為學生提供“先行組織者”材料，啟發學生主動、有意識地聯系舊知識，積極探索、領會和發現命題。教學中，教師可創設情境，引導學生進行直觀感知類探究、現實情境類探究和操作活動類探究。

（1）直觀感知類探究

數學直觀，既是數學抽象思維的問題信息源，又是途徑信息源。教師可以借助圖形、表格、案例、影像等直觀感性材料，促使學生的思維在豐富、生動的直觀信息支持下被激活。

例如，在教學“圓的面積”時，教材上是通過將圓分割成小扇形，將圓面積轉化為長方形面積。事實上，教師可以在課堂上呈現直觀圖形，即半徑為[r]的圓及它的外切正方形，引導學生先比較正方形的周長，再結合正方形的面積，猜測圓的面積。學生通過比較，易猜想到圓的面積為[S圓=πr2]。教師繼續引導學生將圓面積轉化為長方形面積驗證猜想。

（2）現實情境類探究

數學源于、高于、用于生活現實。學生認知中最根深蒂固的部分就是生活中經常接觸和用到的知識。數學教學要適度回歸生活，針對具體內容創設與學生日常生活相關的問題情境，引導學生依據生活經驗展開探究，使他們感受到數學就在身邊，以有效地觸發學生的思維興奮點，培養積極的數學情感。

例如，在教學“商不變規律”時，教師可創設現實情境：“學校即將舉行運動會，班里的同學和老師都積極準備，他們在不同超市買了同一種礦泉水。王華在甲超市花12元買了6瓶，周老師在乙超市花24元買了12瓶，李倩在丙超市花6元買了3瓶;鄒老師在丁超市花30元買了15瓶。誰買的最便宜？”學生在熟悉的生活情境中展開探究，通過列式計算、比較，探索出商不變規律。

（3）操作活動類探究

學生在獲得數學知識與技能的過程中，只有親身參與教師精心設計的教學活動，才能在數學思考、問題解決和情感態度方面得到發展。為了促使學生真正理解數學知識、掌握數學技能，教師應基于學生的認知水平、心理特征和活動經驗，組織學生開展實驗、操作、嘗試等活動，引導學生進行觀察、分析、抽象概括，運用知識進行判斷。

例如，在教學“三角形的內角和”時，教師可以提問：能否畫出有兩個角是直角的三角形？能否畫出三個角分別為[30°、50°、80°]的三角形？學生嘗試失敗，電腦演示也畫不出這樣的三角形。這是為什么呢？學生已經隱約感到三角形的三個角之間有某種內在的聯系，教師趁熱打鐵，引導學生通過量、剪拼、折的方式再展開探究。又如，在教學“圓的周長”時，教師課前安排學生準備以下學具：圓形紙片、紙杯、硬幣、細繩、直尺、三角尺。課上請學生先用自己喜歡的方式測量圓的周長和直徑，探究圓的直徑和周長之間的關系，然后借助課件生動直觀地演示周長和直徑的關系，使學生體會函數思想。

3.習題探究

問題是數學的心臟。在習題探究中培養學生的數學思維能力，促使學生養成“數學地思維”的習慣，是培養學生數學素養的重要途徑。學生在學習數學和運用數學解決問題時，不斷地經歷觀察、類比、直覺、想象、歸納、抽象、運算、推理、反思等數學思維過程，有助于學生理解和體悟其中蘊涵的數學思想與方法，提升數學核心素養。

（1）基于整體思維的探究

整體思維體現在尋找問題解決的思路、方法和途徑中，從整體角度出發，挖掘各個元素之間的聯系。培養學生對數學問題的整體分析和思考能力，可以避免因拘泥于問題的局部而使解題受阻。教師要注意引導學生從宏觀角度進行整體分析，在塊狀思維中把握各個量之間的內在聯系，促使問題有效解決。

問題一：[求12+14+18+…+116的值]。

常規解法是按順序依次通分求和，但過程煩瑣。教師可引導學生將整體“1”平均分成兩份，取其中的1份，即[12]，再將剩下的[12]平均分成兩份，取其中的1份，即[14]，如此繼續下去，就能發現原式等價于1- [116]，即[1516]。

問題二：有20元紙幣和50元紙幣共40張，合計1250元，20元紙幣和50元紙幣各有多少張？

這個問題與雞兔同籠問題類似。教師可引導學生從整體思考，假設40張紙幣全為20元，則合計應為800元，比1250元少450元。由于1張50元紙幣比1張20元紙幣多出30元，450÷30=15（張），所以50元紙幣有15張，20元紙幣有40-15=25（張）。同理，也可假設40張紙幣全為50元求解。

（2）基于動態思維的探究

動態思維是相對于靜態思維而言的，較之墨守成規、機械的靜態思維，動態思維更注重從運動變化的角度把握問題的本質，注重對問題的辯證分析，靈活地運用所學知識分析問題、解決問題。

問題三：楊老師早上8：00上班。一天，楊老師從家出發前算了一下，此時如果步行，將遲到6分鐘;如果騎自行車，可以提前3分鐘到達。已知楊老師步行每分鐘行100米，騎自行車每分鐘行200米。這天楊老師是什么時候從家出發的？

有些學生拘泥于不知道家到學校的距離而思維受阻。教師可引導學生運用動態思維進行探究，假設楊老師是在8：00前t分鐘出發的，t分鐘內楊老師一直在步行或騎自行車，如果步行，他離學校還有6分鐘的路程;如果騎自行車，他超出學校3分鐘的路程。由題目中給出的步行和騎自行車的速度，可得到t分鐘內騎自行車比步行多行的路程，由此求出t。