《導數的幾何意義》教學設計

曾國文

一、教材分析

本節課是在已學了平均變化率和瞬時變化率兩個概念的區別與聯系之上，進而從幾何意義的角度上理解導數的含義，是可以充分應用現代化信息技術進行概念教學與問題探究的好題材，況且導數的幾何意義是為常見函數導數的計算、導數在函數中的應用研究的基礎.因此，本節課學習不僅僅能幫助學生更好理解導數的概念，還能讓學生更有效認識到導數是刻畫函數圖像的單調性、變化快慢和極值等最好的工具。

二、教法學法

1.教法

實驗觀察法、研討教學法和信息技術輔助教學法相結合

2.學法

實驗觀察、反思探究、學以致用、分組討論、思想滲透等

三、教學目標

1.理解導數的幾何意義，體會“以直代曲”思想方法

2.滲透逼近思想，激發學習興趣，培養探索新知識的欲望

3.引導學生體會有限與無限的辯證唯物關系，領悟數學思想方法

四、重點難點

重點：

導數的幾何意義及其在實際問題中應用價值，滲透“以直代曲”數學思想

難點：

由割線PPn趨向切線動態變化效果，由割線“逼近”成切線的理解

教學準備：多媒體、信息技術、幾何畫板、課件等

授課類型：探究課

五、教學過程

1.復習回顧， 誘發探索

老師：在前面學習已經學習了導數的本質，請寫出導數的本質及其表達式。

學生：本質是函數f（x）在x=x0處的瞬時變化率即：

f′（x0）= limΔx→0 f（x0+Δx）-f （x0）Δx

【設計意圖】學生將已學知識和經驗轉化數學語言的思維過程是不可替代的，這一過程有利思維能力的提高，也為感知導數的幾何意義打下良好基礎。

老師：俗話說：“數形結合百般好，割裂分裂萬事休”，詮釋了數與形的辯證關系，而導數的本質僅是從數的角度來詮釋導數，自然就想到形，因此從形的角度來理解導數的幾何意義。

老師：請大家回憶下圓的切線和割線是如何定義的？（回憶、分組討論、提問、形成共識）

學生：看交點個數，即一個交點為切線，兩個交點為割線。

老師：對了。請看圖像，此圖中直線l1、l2與曲線相切嗎？

學生：l1不是與曲線相切，l2與曲線相切

老師：因圓是一種特殊曲線，故不能用特殊解釋一般，但我們能否從中得到啟示尋找一般曲線的切線的定義？現在用幾何畫板作演示，請觀察圓的割線與切線的區別與聯系？

學生：感受到割線變切線是一種逼近取極限的過程，能否用種逼近取極限思想刻畫一般曲線的切線？

老師：我們試著去探索下。

【設計意圖】通過已有知識的回憶與展示，借助幾何畫板體驗各種曲線的切線，推動知識的生成與發展，進而水到渠成的給出切線逼近的準確定義。

2.親身實踐，深刻領悟

老師：請同學們畫出函數f（x）的圖像過點A處的一條割線AB，A（x0， f（x0）），

B（x0+Δx， f（x0+Δx）），并觀察當點A沿曲線逼近于B點時，直線AB有什么變化？

老師：展示學生各種典型作品，再次引導觀察，仔細注意變化，請大家再次動手體驗。

此時割線AB會無限逼近一個確定位置，請把它作出來。

老師：等大部分同學畫出切線后，我用Flash動態演示，引導回顧發現并科學總結。

學生：Δx→0，割線AB→切線AT，則割線AB的斜率→切線AT的斜率

即f′（x0）= limΔx→0 f（x0+Δx）-f

（x0）Δx切線AT的斜率

老師：f′（x0）的本質是f（x）的圖像在x=x0處切線AT的斜率。下面請大家談談對導數幾何意義的理解？

學生：給出一種求解曲線上過某點處切線的斜率的新方法。

老師：好！導數的幾何意義是在該點處切線（切線與曲線交點個數不一定唯一）的斜率。

【設計意圖】讓學生動手實踐體驗，感悟，教師引領，師生互動，讓學生初步體會逼近思想，讓知識的生成與發展自然流暢，讓學生從中獲取學習的快樂與探索科學的欲望。

3.深入觀察，思維嚴謹

以直代曲思想（幾何畫板演示）

【設計意圖】演示的節奏放慢，讓學生動態直觀觀察過點處的切線的逼近過程，讓學生加深對“以直代曲”思想的理解。

4.學以致用，小試牛刀

例1：求拋物線y=2x2在點A（1，2）處的切線方程。

變式1：過拋物線y=2x2上點P0處的切線平行直線y=4x-3，求P0的坐標。

變式2：過拋物線y=2x2上點P0處的切線垂直直線y=-14x+94，求P0的坐標。

【設計意圖】通過例題及變式，讓學生有效掌握求函數在某點處的切線的導數方法，強化解題規范，體會此方法的妙處，進一步加深對導數的幾何意義的理解。

例2：（回歸到課本中的高臺跳水問題）函數h（t）=-4.9t2+6.5t+10表示跳水運動中高度隨時間變化而變化的圖像。請大家根據圖像描述曲線h（t）在t1=0.5s，t2=1s，t3=2s附近的變化情況。

【設計意圖】利用多媒體展示實例，感受某點處附近可用以直代曲來理解，也從微觀角度反應某點附近的變化快慢，從讓學生對導數的幾何意義理解更進一步。

六、歸納概括，提升認知

1. f′（x0）的幾何意義是函數f（x）的圖像在x=x0處的切線AT的斜率（數形結合）。即：切線AT的斜率=

f′（x0） = limΔx→0 f（x0+Δx）-f （x0）Δx

2.能在解釋生活中的實際問題，體會并應用以直代曲的數學思想，領悟有限與無限辯證關系。

七、布置作業，分層要求

1.（必做題）用幾何畫板畫出函數r（V）= （0≤V≤6） 的圖像，請根據圖像估算在V=0.6，1.2處氣球的瞬時膨脹率，會有什么發現？

2.（選做題）請結合本節的實例及自己理解寫出求函數在某點處的切線方程的一個算法。

（作者單位：福建省德化第一中學）