高中數(shù)學(xué)解題中逆向思維的運(yùn)用分析

摘?要：數(shù)學(xué)是一門非常注重邏輯思維的學(xué)科，在高中數(shù)學(xué)解題過程中，有時(shí)候按照常規(guī)邏輯思維方式無法順利解答題目，反而應(yīng)用逆向思維則可以比較輕松地解答題目。高中生需要在學(xué)習(xí)和訓(xùn)練中掌握一定的逆向思維解題方法，諸如對(duì)數(shù)學(xué)定義的逆向運(yùn)用，以及反證法思維等，這樣可以多一種解題思路，提高解題效率。

關(guān)鍵詞：逆向思維;高中;數(shù)學(xué);解題

一、 逆向思維對(duì)于數(shù)學(xué)解題有著極大的重要性

在高中數(shù)學(xué)解題過程中，大部分學(xué)生都習(xí)慣于使用正向思維，通過已知條件和方法來解答所遇到的數(shù)學(xué)題目。大部分情況下，這種方法是適用的。然而在有些時(shí)候，通過正向思維方式解答數(shù)學(xué)題目會(huì)很難，甚至感覺到無從下手，面對(duì)這種情況，高中生就可以選擇通過逆向思維的方式來嘗試解答數(shù)學(xué)題目。

在數(shù)學(xué)發(fā)展史以及科學(xué)發(fā)展史歷程中，逆向思維是一種很重要的思維方式，甚至在某種程度上推動(dòng)了數(shù)學(xué)以及科學(xué)的發(fā)展，通過逆向思維方式解決問題的情況屢見不鮮。對(duì)高中生來說，逆向思維是一種很好的思維訓(xùn)練方式，可以拓展思維，從實(shí)用的角度來講，還可以大大提高數(shù)學(xué)解題的效率。尤其是遇到一些正向思維難以解決的數(shù)學(xué)問題時(shí)，逆向思維通常會(huì)有更好的效果。

二、 逆向思維解題的方法探索

高中生在使用逆向思維解題的時(shí)候，需要講究一定的方法和策略，這樣可以提高逆向思維解題的針對(duì)性和有效性。

（一）

對(duì)數(shù)學(xué)定義的逆向使用

數(shù)學(xué)定義是數(shù)學(xué)解題的基礎(chǔ)工具，某些數(shù)學(xué)定義實(shí)際具有一定的逆向特點(diǎn)。在遇到一些數(shù)學(xué)題目的時(shí)候，如果發(fā)現(xiàn)通過正向思維無法解決問題，則可以考慮逆向使用一些對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)定義，則通常可以讓題目變得更加簡(jiǎn)單，從而有利于解決出答案。

【例1】?假設(shè)如下三個(gè)等式成立①x-y=z;②2x2-2x+z=0;③2y2-2y+z=0。求z的值。

如果按照通常的正向思維，則會(huì)選擇使用消元法來嘗試求值，三個(gè)未知數(shù)，三個(gè)等式，從理論上是可以求出未知數(shù)的。然而由于未知數(shù)較多，應(yīng)用消元法來求解會(huì)比較煩瑣，甚至過程中還容易出錯(cuò)。遇到這種情況，我們不妨考慮逆向思維。通過審題我們發(fā)現(xiàn)題目已知條件中的等式②和③分別為：2x2-2x+z=0和2y2-2y+z=0，兩個(gè)等式除了未知數(shù)不同，其余方面完全一致，我們通過對(duì)一元二次方程定義的逆向運(yùn)用，則可以認(rèn)為x和y就是二元一次方程2a2-2a+b=0的兩個(gè)解。然后根據(jù)韋達(dá)定理，則可以得出x+y=1，xy=z/2。結(jié)合題目中已知條件①x-y=z，根據(jù)（x-y）2=（x+y）2-4xy，將對(duì)應(yīng)的數(shù)值代入，可以得到：z2=1-2z，這就變成了一個(gè)很簡(jiǎn)單的一元二次方程，求解可得z=-1±2。

由此可見，通過對(duì)數(shù)學(xué)定義的逆向使用，可以大大簡(jiǎn)化求解過程，讓一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)題的解題過程變得更加簡(jiǎn)單。

（二） 反證法思維

反證法是一種常見的數(shù)學(xué)證明方法，通常從否定命題的結(jié)論入手，將命題結(jié)論的否定假設(shè)為推理的已知條件，然后通過正確的規(guī)范的邏輯推理，得出的結(jié)果與已知條件、數(shù)學(xué)公理法則等相矛盾。如果出現(xiàn)這種矛盾，則說明假設(shè)不成立，因此命題從相反的方面獲得了證明。通常反證法通過三個(gè)步驟進(jìn)行，第一步是反設(shè)，也就是做出與命題求證結(jié)論相反的假設(shè);第二步是歸謬，也就是將第一步的假設(shè)作為條件，然后采用正確規(guī)范的邏輯推理得出矛盾的結(jié)論;第三步就是結(jié)論，說明假設(shè)不成立，從而原命題結(jié)論是成立的。反證法既可以用于解答題，也可以用于快速解答判斷題選擇題等題型。

【例2】?給定實(shí)數(shù)a，a≠0且a≠1，設(shè)函數(shù)y=（x-1）/（ax-1），其中x∈R且x≠1/a。證明：經(jīng)過這個(gè)函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于x軸。

面對(duì)這個(gè)題目，如果采用正向思維，因?yàn)楹瘮?shù)有較多未知數(shù)，解題過程會(huì)比較復(fù)雜，對(duì)部分學(xué)生來說可能感覺到無從下手。如果采用逆向思維，則可以考慮反證法。題目中的結(jié)論是“不平行”，那我們就先進(jìn)行反設(shè)，也就是先假設(shè)“平行”。然后以“平行”結(jié)論來進(jìn)行邏輯推理，找出與已知條件或者數(shù)學(xué)公理等矛盾的地方，也就是進(jìn)行歸謬，從而否定假設(shè)，從相反角度進(jìn)行證明。

根據(jù)題意，我們假設(shè)K1（x1，y1）和K2（x2，y2）是函數(shù)y=（x-1）/（ax-1）的函數(shù)圖像中的兩個(gè)任意不同的點(diǎn)，則x1≠x2。根據(jù)反設(shè)，假設(shè)直線K1K2與x軸平行，則y1=y2。將這一結(jié)果代入到函數(shù)y=（x-1）/（ax-1）中，則可以得到（x1-1）/（ax1-1）=（x2-1）/（ax2-1），經(jīng)過整理可得a（x1-x2）=x1-x2。因?yàn)閤1≠x2，所以a=1。從反設(shè)得出的a=1這一結(jié)論與已知條件中的a≠1是矛盾的，因此平行的假設(shè)是不成立的，也就是直線K1K2不平行于x軸。

由此可見，通過反證法，對(duì)于一些正向思維難以證明的問題，可以更迅速簡(jiǎn)單地進(jìn)行證明，而且邏輯上也是符合要求的。

三、 結(jié)論

綜上所述，我們可以看到逆向思維在高中數(shù)學(xué)解題中擁有特別的作用。高中生在日常學(xué)習(xí)和訓(xùn)練中，需要掌握一定的逆向思維方法。在高中數(shù)學(xué)題目解題中，并非所有的題目都適合使用逆向思維。有些數(shù)學(xué)題目，使用正向思維可以更快更準(zhǔn)確地得出答案，這個(gè)時(shí)候就應(yīng)該選擇正向思維。逆向思維屬于一種解題選擇，遇到一些正向思維難以切入或者難以解決的數(shù)學(xué)題時(shí)，逆向思維可以提供一個(gè)解題的思路選擇，通常會(huì)有出其不意的好效果。學(xué)生學(xué)習(xí)逆向思維解題的時(shí)候，千萬(wàn)不要看到數(shù)學(xué)題就嘗試用逆向思維，而是要根據(jù)實(shí)際情況來判斷是否合適應(yīng)用逆向思維。

參考文獻(xiàn)：

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[3]王耀茹.數(shù)學(xué)解題中逆向思維的應(yīng)用[D].西安：西北大學(xué)，2018.

作者簡(jiǎn)介：

許君林，福建省莆田市，福建省莆田市莆田擢英中學(xué)。