《橢圓及其標準方程》教學設計

常潔

一、教學設計

（一）內容和內容解析

1.內容

橢圓這個圖形，學生并不陌生，但是僅限于直觀的感受，本節在直線與圓的方程之后，再次引導學生用坐標法研究圖形，用解析法研究學生熟知的圖形，把直觀感受上升到可以定性、定量的分析圖形.

2.內容解析

圓錐曲線是高中數學中十分重要的內容之一.它的許多幾何性質在日常生活、生產和科學技術中都有著廣泛的應用.本節是《圓錐曲線與方程》的第一節課，主要學習橢圓的定義和標準方程.它是本章也是整個解析幾何部分的重要基礎知識.

（二）目標和目標解析

1.目標

通過實驗、觀察、類比、證明等方法，讓學生充分理解橢圓的定義和方程推導，使學生掌握分析、探究、抽象、概括的能力以及用坐標法研究幾何圖形的方法.

2.目標解析

橢圓及其方程是在坐標法研究幾何圖形中起著承上啟下的作用.首先，學生已經有了圓這個幾何圖形和方程這個代數表達之間的一一對應關系，但是又沒有深入討論如何建立起圖形和方程之間關系的一般方法.本節內容從建系開始，到得到方程結束，每一個過程都充分讓學生參與、體會，從而為學生后期掌握研究其他圓錐曲線的方法和能力打下了堅實的基礎.

教學重點：橢圓的定義、橢圓標準方程的推導.

教學難點：橢圓標準方程的推導.

（三）教學支持條件分析

（1）通過課前微課，讓學生了解圓錐曲線名稱的來歷，其中動態演示平面截圓錐，直觀感受圓錐曲線的樣子.

（2）對橢圓定義的引入，可借助課前學生畫圖、視頻，學生自己動手用圖釘繩子，改變繩長，改變圖釘間距離，多次演示，直觀形象讓學生體會橢圓的定義的由來、關鍵點、該注意的條件.

（3）注意橢圓的定義與橢圓的標準方程的聯系.

（4）推導橢圓的標準方程時，可利用多媒體輔助工具，讓學生類比圓的方程的求解方法，得到求橢圓標準方程的建系方法.

（5）利用多媒體輔助翻轉圖形，啟發學生得到焦點在y軸上的橢圓的標準方程.然后，鼓勵學生探索橢圓的兩種標準方程的異同點，進一步加深對橢圓的認識.

二、教學過程

（一）直觀感受，復習舊知

回憶圓與方程的有關知識，共同觀看同學做的小實驗視頻.

視頻片段1：根據圓的定義畫圓.

用圖釘確定一定點，固定繩長，畫出圓.

提問全體學生，共同回憶圓的定義，強調“一定點”“一定長”，動點的軌跡為圓.

（二）新課教學

1.橢圓的定義

視頻片段2：探索畫出橢圓的條件

問題1：類比圓的定義，視頻中的同學還嘗試了將這一定點，一定長做了怎樣的變化？她畫出了什么圖形？

學生思考后回答：她將一定點變成了兩定點，定長變成了動點到兩定點的距離之和為定長，然后畫出了橢圓.

問題2：若保持兩定點間的距離不變，加大繩長，動點的軌跡還是橢圓嗎？

學生得出結論：還是橢圓.

問題3：是不是確定任意的定點和定長畫出的都一定是橢圓？

若保持兩定點間的距離不變，縮短繩長，使它恰好等于兩定點間的距離，動點的軌跡還是橢圓嗎？

老師追問，學生思考后回答：畫不出橢圓，因為筆尖無法旋轉了，但可以移動，因此軌跡為線段.

問題4：若保持兩定點間的距離不變，縮短繩長，使它短于兩定點間的距離，動點的軌跡還是橢圓嗎？

學生思考后回答：畫不出軌跡.

通過探索便可發現，當繩子的長度大于兩個定點間的距離時，將鉛筆卡在繩子上拉直，再旋轉一周，所得到的圖形便是橢圓形了.得出結果后，教師可就圓的繪制及橢圓的繪制過程及結果進行板書對比總結，加深學生的印象，也為后續問題做鋪墊.

設計目的：讓學生對所掌握的知識重新進行歸納及整理，能大膽猜想，敢于實踐，培養他們的探究精神.

焦點及焦距的定義：橢圓的兩個定點通常稱為橢圓的兩個焦點，兩個焦點間的距離稱之為焦距.

2.橢圓的再認識

設橢圓的兩個焦點分別為F1，F2橢圓上任一點M，能否從以上繪制出的橢圓圖形中，抽象出一個等量關系，并由此歸納橢圓的定義？

問題1：觀察橢圓，根據定義，在橢圓上任取一點M，它到兩定點的距離和等于定長，也可以想象成繩長，那么，當改變動點M的位置，它到兩焦點的距離有變化嗎？有沒有這樣一個特殊的點M的位置，恰好把繩長分成兩等分？

由橢圓的圖形對稱特點，容易觀察出，繩子的長度始終是保持不變的，不妨設繩子的長度為2a，則可得到等式：MF1+MF2=2a（2a>F1F2）.

定義：平面上，到兩個定點F1，F2的距離和等于常數2a（2a>F1F2）的點的軌跡.

設計目的：鍛煉學生的觀察能力，培養學生抽象概括的能力.

3.橢圓標準方程的推導

我們知道，對于幾何圖形的研究如果想更加準確深入，就不能停留在只觀其形的感性認識，還要用科學嚴謹的代數結論來加以論證.那么，你能仿造對圓的研究，找到橢圓這樣一個幾何圖形對應的代數方程嗎？

引導學生回憶求曲線方程的基本步驟：建系、設點、列式、化簡、檢驗.

討論建系方案：

啟發學生類比求圓的方程的建系方法，建立適當的直角坐標系.學生可能會有如下幾種建系方案：

方案1：以定點F1為原點，兩定點的連線為x軸;

方案2：以兩定點的連線為x軸，其垂直平分線為y軸;

方案3：以兩定點的連線為y軸，其垂直平分線為x軸.

根據建系原則中的簡潔性、對稱性標準.

選擇以方案2為例，推導橢圓的標準方程：

①建系：以F1，F2所在直線為x軸，以線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系.

②設點：設M（x1，y）是橢圓上任意一點，為了使F1，F2的坐標簡單及化簡過程不那么繁雜，設F1F2=2c（c>0），則F1（-c，0），F2（c，0）

設M與兩定點F1，F2的距離的和等于2a

【難點突破】學生對含有兩個根式之和的等式進行化簡有一定困難，可采用以下方法突破難點：首先讓學生明確，含根號的等式化簡的目的就是要去掉根號，變無理式為有理式;其次復習含有一個根式的等式的化簡方法——將根式放在等式的一邊，其他項移到等式另一邊，兩邊平方可去掉根號;有了這一基礎，可啟發學生，化簡含兩個根式之和的等式，只要將兩個根式分別放在等號兩邊，其中一邊只含一個根式，平方一次后即可轉化為只含一個根式的化簡問題.

表格全面總結：橢圓定義，焦點在x軸和y軸上的橢圓的圖形及方程的相同點和不同點，強調已知橢圓標準方程，如何判斷焦點位置？

引導學生思考：看x2，y2的分母大小，哪個分母大就在哪一條軸上，簡記為“大分母定焦軸”.

設計目的：通過對比總結，強化不同類型的方程的異同，從而深化學生對橢圓標準方程的理解;通過討論，學生自主學習，構建新的知識體系，不但能學習到真正屬于自己的、可靈活運用的知識，而且在此過程中掌握求知的方法，深化學生對橢圓標準方程的理解.

（三）典型例題研究

例1.列方程是否表示橢圓？

設計目的：使學生進一步熟悉橢圓的標準方程，在辨別中加深印象，加強對知識的理解.

【想一想】你還能用其他求它的方法嗎？哪種方法更簡單？你有什么體會？

設計目的：教師平板展示，強調解題的規范.并讓學生熟練橢圓標準方程的運用.讓學生知道用待定系數法也可以解決這道題.

（四）課堂小結

1.橢圓的定義

2.橢圓的標準方程（注意焦點的位置與方程形式的關系）

（五）作業布置

課本42頁練習1、2;49頁習題2.2A組1、2

板書設計目的：條理清晰，把本節課的重點、難點寫在黑板最突出的地方，便于不斷強化學生對本節課知識的掌握.

編輯 魯翠紅