“定義出發”歸納法則，變式教學滲透“套路”
——以“二次根式的乘法”學案打磨為例

☉江蘇省江陰市石莊中學 孫 霞

最近參與教研組一節公開課的磨課活動，對二次根式的乘法學案從第1稿打磨成第2稿有了更深的理解.本文先整理這節課前后兩個版本的學案，并跟進教學思考，供分享和研討.

一、“二次根式的乘法”學案打磨

【第1稿】

教學環節（一） 舊知回顧

A.4

B.3

C.2

D.1

教學組織：安排學生回答，小題訓練，以便復習二次根式的定義、意義、性質等已有知識.

教學環節（二） 新知探究

探究1：網格紙中的求面積.

圖2

圖1

教學組織：安排學生在學案上畫圖并計算，學生根據算術平方根的性質能夠求出答案，如果有學生沒有化為最簡結果，安排其他學生參與糾錯并訂正，并告知學生，接下來我們將系統學習二次根式的乘法.

探究2：探究二次根式乘法法則.

計算：

歸納猜想：如何進行二次根式乘法？（預設：兩個算術平方根相乘，可以先將被開方式相乘，再求積的算術平方根）

推理證明：如何證明？并得出二次根式乘法法則：.

跟進訓練：（1）；（2）；（3）（a≥0）.

教學環節（三） 逆向運算，拓展延伸

探究3：理解法則，逆向運用.

逆向研究：

教學組織：引導學生從等式“對調性”（若a=b，則b=a）理解法則的逆向運用.

跟進訓練：（1）；（2）（a≥0）；（3）（a≥0，b≥0）.

探究4：變式拓展.

思考：=？（預設：學生都能得出，如何證明？可有序轉化證明）

跟進訓練：（1）；（2）

教學環節（四） 課堂小結，布置作業

預設過渡語：一節課下來，我們了解了很多新知識，你能談談自己的收獲嗎？說一說，讓大家一起來分享.

最后布置作業.

第1稿在學科組試教之后，參與聽、評課老師的打磨意見摘錄如下：以上學案比較常規，追求高品質的數學教學還可以在如下一些地方進行改進，第一，舊知引入是可以的，應側重于定義的復習和回顧、基本性質的回顧，并以具體的小題練習；第二，網格應用題宜后置，體現二次根式乘除的應用；第三，一組乘除練習之后歸納生成法則，再跟進應用；第四，公式逆向運用要體現運算簡化的優勢；第五，最好能有一個結構化板書，且是漸次生成的.

然后就圍繞上述打磨意見重新設計出了第2稿：

【第2稿】

教學環節（一） 舊知回顧

問題1：二次根式是怎樣定義的？舉例說說.

教學組織：學生只要能舉例說出形如（a≥0）的式子稱為二次根式即可.這里要強調被開方式為非負數.學生在舉例時如果回避了一些被開方數為完全平方數的形式，可啟發學生增加例子，比如，因這幾個式子也是符合二次根式定義的，當然它們又是可以化簡的，為接下來的“問題2”提供鋪墊，也為后續新知探究提供“情境準備”.

問題2：二次根式的性質是什么？舉例說說二次根式的性質在化簡中有怎樣的應用.

教學組織：學生前面剛剛學過二次根式的兩個性質，應該很快能回顧.然后學生舉例，體現二次根式的化簡.

教學環節（二） 新知探究

問題3：對于二次根式，已學習了定義、性質，還要學習什么呢？

教學組織：引導學生基于數式“研究套路”開展探究，即需要研究二次根式的運算，是先研究加減運算，還是乘除運算呢？可以讓學生進行一些討論，哪種運算更方便一些就先研究哪一種.經過討論，組織學生先學習乘法，那就需要先研究二次根式的乘法法則.接下來讓學生快速求出一組算式的結果（見“第1稿”探究2），并觀察它們的規律，歸納得出二次根式乘法法則：.接著給出一組練習（見“第1稿”探究2后面“跟進訓練”，這里略去）.

新知運用：網格紙中的求面積（見上文“探究1”）.

教學環節（三） 逆向運算，拓展延伸

見第1稿中“探究3”“探究中”，這里略去.

教學環節（四） 課堂小結，完善板書

二次根式的乘法

二、二次根式乘法的教學研究

（一）深刻理解教學內容，從定義出發引出新知

章建躍老師提出的“三個理解”，排在首要位置的就是“理解數學”，這里的理解數學主要指理解教學內容，包括教學內容在初中學段、全章、單元的位置，想清它的位置，從前后一致、邏輯連貫的角度理解教學內容，有利于教學時找準學生的“最近發展區”，創設合適的教學情境引入新知.就本課教學內容來說，二次根式的乘法是研究二次根式的定義、性質之后進行的，所以本課的出發點是二次根式的定義和性質，這也是“第2稿”調整為兩個引入“問題”的主要立意.此外，堅持從定義出發引出新知，還有一個好處就是在后續新知探究過程中，可以引導學生“回到定義”去解題或探究的解題念頭或策略.

（二）重視代數研究套路，探索并歸納運算法則

代數學習的研究套路通常是研究對象的定義、相關概念、性質、運用，等等.以二次根式為例，研究套路是二次根式的定義、性質、運算及其運用.本課所學習的二次根式的乘法，就可以從定義出發，引導學生思考繼續研究二次根式的四則運算該從哪種運算開始，討論之后大家確定從二次根式的乘法開始，先研究一些簡單的運算，觀察歸納出性質之后進行運算練習.對于優秀學生，還可引導他們思考如何證明這個法則（可以利用乘方與開方是逆運算的方法，兩邊同時平方，證明兩邊相等），加強算理教學也是代數教學的重點.值得一說的是，當前有些“習題單式”導學案由于大量密集式的習題，影響和擠占了法則教學的時間，使得很多數學運算法則的教學常常是“一個定義、三項注意、大量練習”的“無趣教法”.這是值得我們注意的，因為數學運算是講算理、“步步有據”的，而這種弱化、輕視法則歸納與驗證的教學不利于對學生理性精神的培養和熏陶.

（三）基于變式教學研究，逆向思考并生長拓展

變式教學研究是我國中小學數學教學的重要特色，不僅是習題變式研究，更重要的是要將變式教學理論運用到核心概念教學研究中.比如，上文課例中，得出二次根式乘法法則之后，還可引導學生逆向思考，根據等式的“對調性”逆向思考法則，并且讓學生感受到逆向思考得到的性質可以簡化運算，或化簡有些二次根式.作為嚴謹追求，對于3個二次根式連乘的形式，也可拓展得出相應的運算性質，這種運算教學的細節表明，教師對這類問題應該有深刻的理解.近年來大家都倡導所謂的重視“核心素養”的教學，筆者認為，如果教師對教學內容沒有深刻理解，則離開“數學味”的數學教學是不可能發展真正意義上的數學學科核心素養的.

三、寫在后面

各級教研活動中往往熱衷于安排章前導學課，而對于某章中間的內容往往缺少關注和研究，這也是一種遺憾.這次能有機會參與研討二次根式全章中間這節課的打磨，也是一次加深理解二次根式乘法教學的機會.當然，我們的理解不一定準確，更不一定正確，期待更多批評與指正.