廣開聯想鑄就“自然”思路*
——構圖求tan15°的值的智能價值與智慧分享

☉山東省濱州市北鎮中學初中部 邢成云

“從帽子里跑出一只兔子”是波利亞對玄妙思路高蹈出現的經典論斷，的確，平時教學中，為何老師一講再講，學生面對生疏問題時仍不得思路，總有一種“望盡天涯路”的窘覺？其實是我們平日的教學出了問題.奇招、妙招甚至怪招，或有簡潔之美，或具新奇之美，或蘊抽象之美，甚或讓人拍案叫絕，但學生拍案后除了驚慕老師的高明，面對新的問題仍逃脫不了“望題興嘆”的困厄.殊不知，我們的教學丟卻了最基本的常識：本源性的思路是否被關注？我們的引導有沒有越位的問題？是否真正有效？基本想法是否被關注？等等.面對問題，引導學生關注條件、結論，形成基于個人數學現實的相關聯想，思路往往就出現了，一味求簡或許會蒙蔽學生的常規想法，平民化的思路或許看似有點兒拙，但合民意、入民心.

基于條件，引導學生展開廣泛聯想，讓這種想成為學生面對問題的習慣意識，看似玄妙的思路也就自然而然了，貼近個體學生的“最近發展區”，讓思路順暢、自然，讓學生感覺到這個思路是他們應該想到的，長此以往，學生就會慢慢觸摸到“想”帶來的收益，成為解決問題的策略性行為，這種習慣性的自我監控就會促使自己廣開思路，方法登錄學生的大腦平臺就會成為實然.本文集中呈現學生的各種思路，較好地詮釋了以上論斷，希望能引起共鳴.

題目：試構圖確定tan15°的值.

一、教學說明

對于初中學段的學生而言，直接獲得tan15°的值是不好辦的，但可以通過構圖去嘗試完成.其中“幾何直觀”發揮著引領之用，可以說這是指向數學學科核心素養的教學嘗試.若通過銳角三角函數的學習，能認識到它的本質就是線段比的話，由“數”想“形”去構圖應該是自然的、常態的.因此，這一問題也是對學生概念理解的一次考量.教學前，筆者提前一天把問題布置下去，要求至少找到3種求值方法.事實上學生課余共研究出了8種方法，有6種方法是在這8種方法的基礎上、思路的啟迪下在課堂上現場生成的，其中有教師的補缺性引導，有學生縱橫馳騁的類比聯想.本文對學生在課堂上集中呈現的解法做了一個簡單的梳理，并在結課階段，通過學生的親歷求解或傾聽他人的求解，集體評選出了相對優化的方法：法1、法12、法14.其原因是：圖形構造直觀明了、計算量小.為了讓個性的想法產生遷移力，為了汲取別人優化的方法，特留如下作業：（1）把自己的方法梳理清楚，能優化的優化，把自己的想法沉淀下來；（2）借鑒其他同學至少2種自己感覺可接受的好方法，研究學習并整理.

二、方法呈現

思路1：基于30°=15°+15°引發聯想，構造等腰三角形頂角相鄰外角與兩底角的關系.

法1：如圖1，畫一個含30°的Rt△ABC，使∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，延長CB至點D，使BD=BA，連接AD，則有∠D=15°，則DB=AB=2.

圖1

思路2：基于的角度引發聯想，構造角平分線.

如圖2，畫一個含30°的Rt△ABC，使∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1.

法2：如圖2，作∠ABC的平分線，交AC于點D，過點D作DE⊥AB，垂足為E.

圖2

BD平分∠ABC，且CD⊥BC，DE⊥AB，則CD=DE.

令CD=DE=x，由S△ABD=，得.則CD=DE=x=，則tan15°==.

法3：如圖3，作∠ABC的平分線，交AC于點D，過點D作DE∥AB，交BC于點E.

圖3

由BD 平 分∠ABC，得∠ABD=∠DBC=15°.

由DE∥AB，得∠ABC=∠DEC=30°，∠EDB=∠ABD=15°，則∠BDE=∠DBC=15°，則DE=BE，至此，就變成了圖1所示的模型，以下略.

法4：如圖4，過點A作AE∥BC，交∠ABC的平分線的延長線于點E.

圖4

由BE平分∠ABC，得∠ABD=∠CBD.

由AE∥BC，得∠E=∠CBD，則∠E=∠ABE，則AE=AB.

由∠ADE=∠CBD，且∠E=∠CBD，得△ADE△CDB，則，即.令CD=x，則=，則.

思路3：基于15°=45°-30°=60°-45°=90°-75°引發聯想，構造小直角三角形.

法5：（用60°-45°=15°）如圖5，畫一個含60°的Rt △ABC，使∠C=90°，∠BAC=60°，AC=1，在BC上取點D，使得CD=AC，過點D作DE⊥AB，交AB于點E.

由AC=CD=1，得∠CAD=∠CDA=45°，則∠BAD=∠BAC-∠DAC=15°.

令DE=x.

圖5

法6：（用45°-30°=15°）如圖6，畫等腰直角△ABC，AC=BC=1，作∠CAD=30°，過點D作DE⊥AB，交AB于點E.

由△ABC是等腰直角三角形，得∠CAB=∠CBA=45°，則∠DAB=∠CAB-∠CAD=15°.

圖6

思路4：基于一副三角板中的特殊角引發聯想，擺拼出75°，進而得到15°（90°-75°=15°）.

圖7

法7：如圖7，一副三角板一邊（BC）疊放，DB=1，CD=2，CB=AC=，∠ACO=∠ACB -∠DCB=90°-30°=60°.過點A作AH ⊥CO，則∠CAH=30°，則∠OAH=∠CAB-∠CAH=15°.

法8：如圖8，一副三角板拼在一起（AC為重疊邊），CD=，∠DAB=∠DAC+∠CAB=30°+45°=75°.過點D作DH⊥AB，則.

圖8

圖9

法9：如圖9，一副三角板拼在一起（BC為重疊邊），∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°+45°=105°.

過點D作DH垂直于AB的延長線于點H，則∠HBD=75°，則∠BDH=15°.

思路5：基于單個三角板的特殊角引發聯想，構造出75°，進而得到15°（90°-75°=15°）.

法10：如圖10，在含30°角的一副三角板的直角頂點處作∠DCB=75°，則∠CDB=45°，這樣問題就轉化成了法8，以下略.

法11：如圖11，在含45°角的一副三角板的直角頂點處作∠DCB=75°，則∠CDB=60°，這樣問題同樣轉化成了法8，以下略.

圖10

圖11

思路6：基于底角為75°的等腰三角形引發聯想，構造腰上的高直接呈現15°（90°-75°=15°）.

法12：如圖12，是底角為75°的等腰△ABC.

過點B作BH⊥AC于點H，則∠HBC=15°.

圖12

圖13

圖14

法13：如圖13，畫一個銳角為30°的Rt△ABC，∠C=90°，∠A=30°，以點A為圓心，以AC長為半徑畫弧，交AB于點D，則△ACD即為底角為75°的等腰三角形，這樣就轉化成了法12，以下略.

法14：如圖14，畫一個銳角為30°的Rt△ABC，∠C=90°，∠B=30°，以點B為圓心，以AB長為半徑畫弧，交BC的延長線于點D，則△BAD即為底角為75°的等腰三角形，這樣同樣轉化成了法12，以下略.

說明：法14和13同出一轍，就是半徑的差異而已.再進一步說，法12、13、14也是統一的，最終都落腳于法12.

三、教后反思

1.以數為基，廣泛聯想

從運算的角度展開對15°的聯想，然后就是如何把15°構造出來的問題，本身就是數形結合的一種體現，可見其數學思想方法的不菲作用.30=15+15，15=×30，15=45-30=60-45=75-60=90-75等各種形式、種種聯想促成了以上繽紛多彩的思路（縱然有些思路有諸多思維回路，可以優化，有些圖形過于復雜，可以簡化，但幾何直觀下各類構圖的思路及廣泛聯想的意識是很有價值的），恰似著名數學家谷超豪所言“解題豈一法，尋思求百通”.貫通的思路源于廣泛的聯想，沒有“想”，知識就是知識，止步于認知層面，不能很好地轉化為解題的生產力，也就不能轉知成識，而成為解題的智慧.

通觀上面一系列的方法不難看出，解決此題的關鍵在于在已知特殊直角三角形（一副三角板）或特殊的等腰三角形及它們的組合中，添線構造出含15°角的直角三角形，而這個“15°”來路頗多，然后，借助特殊直角三角形的邊角關系、邊邊關系和三角形的面積公式、角平分線性質定理、相似等初中幾何的核心知識，求出15°的正切值，是一次運算與思維的大演練.我們知道，添輔助線一般具有隱性條件顯性化、分散條件集中化的作用，而本題的構圖解決，除了這些作用，還讓我們觸摸到了在“基地圖形”上構造解題所需要的新圖形的妙處，充分發揮了基本圖形的模型作用.

2.優化思維與歷練思維

在考場上面對一個問題，自然不需要也不必尋求多解，若一個問題有諸多思路，需要對每一個思路進行甄別，選擇出最經濟實惠的思路，以贏取中考的勝利.但作為平時的訓練題目，我們不妨拋開優化的定位，在學生的“最近發展區”引導學生從自己的基本想法出發構筑自己的“自然”思路，并交流各自的自然思路，成果共享、相互促進，反復歷練學生的多向思維，調度“四基”，在應用中熔煉，既鞏固了核心知識，又形成了貼近自己的自然思路，同時深化了思維，多思多得，其智能價值會更高.縱然有些方法與優化的方法相比顯得笨拙，但由于是出自個人的思維方向，其實效性更強.如果我們研究問題僅定位于智慧的方法、脫俗的方法，往往會嚇倒一批人，成為優生展示才藝的集中營，對每一名學生而言并非福音.因此，優化思維是思維品質深刻性的提升，但一些基本想法縱然顯拙但接地氣，對歷練大眾思維作用不菲，二者不可偏廢，拿捏它們之間的平衡當屬應然.“解題研究無禁區，考場應試要優化”，要取得考場上的優化思路，就需要平時厚實的積累，平時發散思維的歷練，否則到了考場上拍腦門是拍不出來優化的方法的，此即為“博觀而約取，厚積而薄發”吧！

3.“習慣”成“自然”

想法，想法，有了“想”才有“法”，因此說讓會“想”成為習慣，也就是知道怎樣去思考，那學生面對生疏的問題時往往就會打開思路，就有了解決疑難問題的門道.數學的本色是思考，史寧中教授有句經典：“和學生一起思考”.筆者的理解是，面對新問題時，老師要和學生一起“零起點”思考，若老師已經知曉，需要稚化自己的思維退到原點去，若不知曉，就和學生一起左思右想、上下求索，那老師面對問題的思考路徑就顯現出來了，而這個顯現才便于學生的學得來，讓學生觸摸到老師解題時的磕磕絆絆、左沖右突、而后突圍的真實全景，而不是把自己美化后的思路、加工處理后的思路高高在上地傳遞給學生，那樣除了讓學生驚慕老師的高明以外，還能學到什么！所以，史寧中校長甚至認為，學數學不用筆不用紙，用腦袋想就能想出來.當然這句話從字面看有點兒過了，但其從側面折射出了“想”成為習慣的重要性.基于這些認識，筆者不斷引導學生積極思考，用身體力行來喚起學生的思考欲，久而久之，思考就會沉淀成學生的習慣，那再面對疑難問題時就有了解決問題的“道”.讓學生的思考習慣成為自然，那么我們的數學教學就走向成功了.