淺談轉(zhuǎn)化思想方法在高等數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

摘 要：所謂的轉(zhuǎn)化思想就是一個(gè)將問題由難變簡的過程，它能夠讓學(xué)生擺脫固有思想的限制，從而提高解決問題的效率。高等數(shù)學(xué)較之于初等數(shù)學(xué)來講，其難度不止上升了一個(gè)層次，正是因?yàn)槿绱耍浣忸}過程往往復(fù)雜煩瑣，難以完成，正因如此，才出現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，它能夠?qū)⒏叩葦?shù)學(xué)中難以理解的復(fù)雜問題通過轉(zhuǎn)換，代入等加工方式變的淺顯易懂。當(dāng)代高校的高數(shù)教學(xué)中，對于轉(zhuǎn)化思想運(yùn)用層出不窮，它的出現(xiàn)為我們廣大高數(shù)學(xué)員提供了一片新的天地，而正是這個(gè)由難變簡，會(huì)讓學(xué)生充滿興趣，極大程度上地促進(jìn)其積極性。將微積分、三角函數(shù)、代數(shù)學(xué)等等數(shù)學(xué)知識(shí)相互引用，全面滲透轉(zhuǎn)化思想，這將會(huì)大幅提升高數(shù)課堂的教學(xué)質(zhì)量。本文就以轉(zhuǎn)化思想在高數(shù)教學(xué)中的運(yùn)用進(jìn)行了簡要分析。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);轉(zhuǎn)化思想;運(yùn)用

轉(zhuǎn)化思想是高數(shù)解題方法之一，尤其是在許多高數(shù)定義、高數(shù)公式中都存在著不少轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，如果學(xué)生能夠成功掌握轉(zhuǎn)化思想，那么其今后的解題之路必將一往無前，教師必須指引學(xué)生透過試題的文字看到其內(nèi)在構(gòu)成，將繁復(fù)抽象的題目分解成一個(gè)個(gè)簡單的小知識(shí)點(diǎn)，最后通過這些分解轉(zhuǎn)化而來的小知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行學(xué)習(xí)。轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用極為廣泛，不僅是在數(shù)學(xué)試題中，更在生活中有著不小的作用，而轉(zhuǎn)化思想最大的用處則在于高數(shù)解題中，其本領(lǐng)非常大。

下面本文就從高等數(shù)學(xué)的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了舉例探析，以此來建議廣大教師亦或是學(xué)生在教學(xué)或解題的過程中能夠充分動(dòng)用轉(zhuǎn)化思想，以此來講復(fù)雜的高數(shù)問題轉(zhuǎn)化成簡單的式子或解法，通過此種方法來獲得答案。

一、 轉(zhuǎn)化思想在微積分中的應(yīng)用

轉(zhuǎn)化思想在解決問題時(shí)可以輕而易舉地將問題化簡，例如limn→∞（n+3n-n-n）=??? 。這題其實(shí)看似比較困難，運(yùn)用了大量的根號(hào)，同時(shí)其中還存在著未知字母n，如果單純地以普通方法來對本題求解，那么可能會(huì)一直求下去，因此，這就要運(yùn)用到轉(zhuǎn)化思想，首先，本題是通過括號(hào)內(nèi)的兩個(gè)根號(hào)式子來尋找突破口，其構(gòu)造特點(diǎn)非常類似于我們曾經(jīng)所學(xué)習(xí)的平方差公式，因此，我們可以試著將括號(hào)內(nèi)的減法式子乘以一個(gè)加法式子，同時(shí)為了保證我們所構(gòu)造的式子與題目中的式子是等價(jià)的，因此，必須整個(gè)式子同時(shí)除以一個(gè)（n+3n+n-n），以此來保證等式上下相等，最終得到的式子就是limn→∞（n+3n-n-n）（n+3n+n-n）（n+3n+n-n），如此一來，整個(gè)式子就清晰簡單了起來，分子上是平方差公式，可以直接得到limn→∞n+3n-n+nn+3n+n+n，這樣做整個(gè)式子就更加簡潔了，同時(shí)我們再將式子的上下同時(shí)除以n，就可以得到整個(gè)式子的答案。這道題在設(shè)計(jì)時(shí)看似極為煩瑣復(fù)雜，其中運(yùn)用了大量根號(hào)，讓同學(xué)們看到后瞬間感覺到迷茫，然而一旦運(yùn)用上轉(zhuǎn)化思想后，那么解題過程將會(huì)變得極為簡單，所運(yùn)用的解題方法也不過是初中曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的通分以及平方差公式罷了。運(yùn)用簡單的解題方法來對煩瑣的微積分進(jìn)行解答，這是轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

二、 轉(zhuǎn)化思想在不定積分中的應(yīng)用

轉(zhuǎn)化思想同時(shí)還可以應(yīng)用在不定積分當(dāng)中，我們以不定積分的推導(dǎo)公式之一為例，∫（cscx）2dx=cotx本公式是不定積分推導(dǎo)公式之一，本段就以其推導(dǎo)過程來展示轉(zhuǎn)化思想在不定積分中的運(yùn)用。如果我們單獨(dú)對x的余割的平方進(jìn)行求解，其難度往往很高，然而如果對本式中的余割進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化，那么題目似乎就迎刃而解了，首先我們將公式中的余割改變?yōu)?（sinx）2，這個(gè)是基本轉(zhuǎn)換，并沒有難度，在之后的過程中，我們需要把轉(zhuǎn)換后的式子再次進(jìn)行轉(zhuǎn)化，我們在高中學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，曾經(jīng)學(xué)習(xí)過一個(gè)最為基本的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化，那就是“同一個(gè)角的正弦的平方加上余弦的平方等于1”，我們根據(jù)這個(gè)條件可以將分子的“1”改換成“（cosx）2+（sinx）2”，通過轉(zhuǎn)換，公式就變成了∫（cosx）2+（sinx）2（sinx）2dx，此時(shí)公式還是尚且有些困難，想要通過這個(gè)式子求結(jié)果顯然還有些不夠，因此我們可以繼續(xù)實(shí)行轉(zhuǎn)化，之后式子可以轉(zhuǎn)化成∫cosx（sinx）-sinx（cosx）（sinx）2dx，如此一來，整個(gè)式子就更加明了，我們通過對x進(jìn)行積分處理，變換整個(gè)式子為∫dcosxsinx，通過變換后的積分式，我們就能完成整個(gè)過程的推導(dǎo)了。其實(shí)，高等數(shù)學(xué)并不困難，其核心內(nèi)容也是由我們曾經(jīng)所學(xué)習(xí)的初等數(shù)學(xué)所構(gòu)成的，只要我們能夠正確利用轉(zhuǎn)化思想，那么解題也就變得簡單了起來。

三、 轉(zhuǎn)化思想在函數(shù)與數(shù)列中的應(yīng)用

函數(shù)問題一直都是困擾學(xué)生們的難題之一，其問題常常呈現(xiàn)出多樣性、不一性，學(xué)生常常因此無法進(jìn)行相應(yīng)的練習(xí)，同時(shí)由于函數(shù)問題所涉獵的范圍極廣，因此其重要性是不言而喻的，作為一門又重要又困難的知識(shí)，我們有必要利用轉(zhuǎn)化思想來對其進(jìn)行相應(yīng)的解決，尤其是在高等數(shù)學(xué)之中。所謂函數(shù)，主要強(qiáng)調(diào)的是一個(gè)數(shù)值y在另一個(gè)數(shù)值x變動(dòng)時(shí)，隨之變動(dòng)，他主要是強(qiáng)調(diào)一系列的數(shù)值連續(xù)變化，而數(shù)列則不同，它主要強(qiáng)調(diào)一系列數(shù)值的離散情況。在實(shí)際解題過程中，我們可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將困難復(fù)雜的函數(shù)運(yùn)用到數(shù)列當(dāng)中來解決問題。以“證明sin1x在x=0處沒有極限”為例。首先，我們可以先選取兩段數(shù)列，第一段：x（1）n=1nπ（n=1，2，3，4…），第二段：x（2）n=12nπ+π2（n=1，2，3，4，…），根據(jù)極限的定義，我們可以很明顯地得到兩段數(shù)列的極限值，它們均為0，然而limn→∞sin1x（1）n=0，limn→∞sin1x（2）n=1，兩個(gè)式子的極限值卻不相等，因此，原函數(shù)在x=0出沒有極限。這也是頗為常用的轉(zhuǎn)化思想，如果單純利用函數(shù)定義來對本題求解，其難度是非常大的，然而，當(dāng)我們利用數(shù)列以及函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化后，就能輕而易舉地解決本題，以兩段數(shù)列的斂散性為基礎(chǔ)，解決了本題中的函數(shù)極限問題，簡單易懂。

四、 結(jié)束語

總而言之，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想可以幫助我們更快地解決問題，尤其是在高等數(shù)學(xué)之中，轉(zhuǎn)化思想的作用更是不言而喻。不論是教師還是學(xué)生都應(yīng)該充分理解并能正確使用轉(zhuǎn)化思想，只有這樣，才能保證學(xué)習(xí)效果有所提升，課堂質(zhì)量也能夠飛速增長。轉(zhuǎn)化思想貫穿了高等數(shù)學(xué)，同時(shí)還附著在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，它是最為基本的解題思想，也是最為重要的數(shù)學(xué)思想之一，高等數(shù)學(xué)在轉(zhuǎn)化思想的滲透下最終也會(huì)變成一個(gè)又一個(gè)的初等數(shù)學(xué)的碎片，我們只要能夠善于利用這些碎片并將其進(jìn)行組合就能脫離高等數(shù)學(xué)的抽象化的限制，這不是一朝一夕就能完成的，需要我們不斷地鞏固知識(shí)，發(fā)現(xiàn)總結(jié)，只有這樣才能正確利用轉(zhuǎn)化思想，從而在高等數(shù)學(xué)獲取更多知識(shí)，方便今后的生活應(yīng)用。

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作者簡介：

王苡琳，陜西省安康市，安康學(xué)院。