概念教學(xué)及其案例分析

軒夢杰

【摘 要】數(shù)學(xué)，是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，是一門源自生活，且運(yùn)用于生活的學(xué)科。數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)中會涉及到很多數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓裕虼嗣總€(gè)數(shù)學(xué)概念的形成和發(fā)展必然有它的根據(jù)，教師如何運(yùn)用合理的教學(xué)方法進(jìn)行概念教學(xué)將會與學(xué)生的學(xué)習(xí)乃至教學(xué)效果有著密切的關(guān)系。本文以因式分解的概念教學(xué)為具體案例，以學(xué)生綜合素養(yǎng)的提升為最終目的，從傳統(tǒng)教學(xué)模式與教指委案例庫中的教學(xué)案例的對比出發(fā)，進(jìn)而得出概念教學(xué)的高效教學(xué)模式。

【關(guān)鍵詞】概念教學(xué)；因式分解

一、概念形成的心理學(xué)

漢語大詞典對概念的解釋是這樣的，它思維的基本形式之一，反映客觀事物的一般的、本質(zhì)的特征。人類在認(rèn)識過程中，把所感覺到的事物的共同特點(diǎn)抽出來，加以概括，就成為概念。數(shù)學(xué)概念的獲得就是讓學(xué)生掌握一類事物的共同本質(zhì)屬性，并能辨別本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性，并能列舉出概念的正例和反例。而學(xué)生獲得概念的途徑有概念的形成和概念的同化兩種方式。

概念的形成是不斷地“假設(shè)—檢驗(yàn)—再假設(shè)—再檢驗(yàn)”，從大量例子中歸納概括出一類事物本質(zhì)屬性的過程。學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的概念都是一些比較具體的概念，缺乏精確的定義性概念，而且理解能力也有限。因此，他們獲得概念的典型方式是概念的形成。隨著學(xué)生認(rèn)知水平的提高，學(xué)生可以按概念的形成方式來獲得定義性概念，其心理過程如下所示：辨識刺激模式； 尋找共同屬性； 確認(rèn)本質(zhì)屬性； 形成概念。下面我們將具體分析案例中，老師是如何根據(jù)概念形成的心理過程來設(shè)計(jì)“因式分解”概念教學(xué)的。

二、課標(biāo)對因式分解概念課的要求

1、義務(wù)教育階段的課程按時(shí)間劃分為三段，因式分解處于第三學(xué)段，歸屬于數(shù)與代數(shù)中數(shù)與式的范疇，課程標(biāo)準(zhǔn)對這一部分的要求是讓學(xué)生能夠用提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解。因式分解是后續(xù)學(xué)習(xí)分式、一元二次方程、二次函數(shù)等知識的基礎(chǔ)，是解決整式恒等變形和簡便運(yùn)算問題的重要工具。

2、從實(shí)施建議方面來看：（1）數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，要注重知識的“生長點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，把握數(shù)學(xué)知識的前后邏輯連貫性，把握知識的結(jié)構(gòu)體系；（2）教材的編寫也應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)科學(xué)性、整體性、過程性，展現(xiàn)“知識背景—知識形成—揭示聯(lián)系”的過程；（3）素材的選用也應(yīng)當(dāng)在反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的前提下盡可能地貼近學(xué)生生活，讓他們經(jīng)歷從生活中抽象出數(shù)學(xué)知識與方法的過程。

三、概念教學(xué)的傳統(tǒng)教學(xué)模式

因式分解是在學(xué)生們已有的整式乘法的基礎(chǔ)之上學(xué)習(xí)的，傳統(tǒng)的課堂模式中，教師只是單純的給出幾個(gè)整式乘法的例子，對應(yīng)的把整式乘法的等號左右調(diào)換，讓學(xué)生體會兩組式子的區(qū)別與聯(lián)系。接著直接給出因式分解的概念，即：把一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式乘積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。概念給出之后，最后給出大量的例子進(jìn)行練習(xí)強(qiáng)化。

四、概念教學(xué)的新的教學(xué)模式

參考教指委教學(xué)案例中心的案例，此案例中教師先通過設(shè)計(jì)問題情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)、通過歸納與概括獲得新概念、通過應(yīng)用加深對概念的理解、在回顧反思中體會概念的獲得過程、最后分享對數(shù)學(xué)概念教學(xué)的更一般的認(rèn)識。案例中問題情境的設(shè)置具有層次性，先從學(xué)生們熟悉的因數(shù)分解入手；進(jìn)而又用生活中的具體實(shí)例即求花壇的面積入手，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活是密不可分的；最后把用數(shù)的整除改成字母的整除，完成了從數(shù)到式的跨越。最后在學(xué)生和老師的共同努力下，通過歸納總結(jié)得出因式分解的概念。此外，本節(jié)課還設(shè)置了回顧與反思，從知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀三個(gè)維度進(jìn)行回顧，充分體現(xiàn)了教師主導(dǎo)、學(xué)生主體的教學(xué)模式特點(diǎn)。

五、與傳統(tǒng)模式相比新模式的相對優(yōu)勢

1、新的教學(xué)模式解決了學(xué)生為什么要學(xué)習(xí)這節(jié)課的疑慮

（1）傳統(tǒng)課堂在講授因式分解的時(shí)，只是簡單地通過幾個(gè)代數(shù)式作為引例，讓學(xué)生觀察幾個(gè)代數(shù)式的有什么共同特征，然后得出因式分解的定義。緊跟其后的是大量的練習(xí)，通過練習(xí)學(xué)生掌握了因式分解的方法。傳統(tǒng)課堂忽略了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，將數(shù)學(xué)看作高高在上的。案例中，老師列舉與生活息息相關(guān)的例子，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)是來源于生活，服務(wù)于生活的，這與恩格斯對“數(shù)學(xué)”的定義是一致的。

（2）案例中，前兩個(gè)引例刻意安排了后邊要學(xué)習(xí)的兩種因式分解的方法，為后邊學(xué)習(xí)因式分解的方法做鋪墊；第三個(gè)引例，將因式分解置于問題解決的過程中，巧妙地從具體的數(shù)的運(yùn)算過渡到字母的運(yùn)算，回答了學(xué)習(xí)因式分解的意義。

（3）從數(shù)到字母的過渡，設(shè)計(jì)的很巧妙，這也符合數(shù)學(xué)學(xué)科高度抽象性的特點(diǎn)，培養(yǎng)了學(xué)生的符號意識。此外，數(shù)學(xué)史中我們學(xué)習(xí)過代數(shù)學(xué)由修辭代數(shù)到縮略代數(shù)，再到符號代數(shù)發(fā)展的歷史，與學(xué)生的認(rèn)知具有歷史相似性。

概念的形成需要先提供一個(gè)刺激模式，因此在課堂教學(xué)中應(yīng)給學(xué)生提供一定的概念例證。這些概念例證可以從生活實(shí)例入手，也可以從學(xué)習(xí)某一知識的意義入手，還可以從培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想方法以及十大核心概念入手。比如，第三個(gè)引例對發(fā)展學(xué)生的符號意識有一定的促進(jìn)作用。從數(shù)到字母的過渡符合數(shù)學(xué)學(xué)科高度抽象性的特點(diǎn)。

2、新的課堂模式符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)

（1）通過前兩個(gè)情景引例的對比，讓學(xué)生明白因式分解并不是單獨(dú)孤立出來的一個(gè)概念，而是整式乘法的逆運(yùn)算。通過分類，歸納，讓學(xué)生體會因式分解的本質(zhì)——對多項(xiàng)式進(jìn)行分解，分解的結(jié)果必須是乘積的形式。

（2）概念是對一類事物本質(zhì)屬性的反應(yīng)，具有高度的抽象性，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的抽象過程是培養(yǎng)學(xué)生抽象能力的好機(jī)會。因此，在課堂教學(xué)中，讓學(xué)生充分經(jīng)歷概念的形成過程，從中體會如何從特殊的問題，經(jīng)歷分類、歸納、抽象、概括，形成對一類事物的認(rèn)識。概念教學(xué)不能只教概念，還應(yīng)包含概念的形成過程。案例中的老師，將無形化有形，讓學(xué)生從中體會概念不是輕易獲得的，而是要經(jīng)歷分類、歸納、抽象、概括幾個(gè)過程。

通過概念例證，找到它們的共同屬性，進(jìn)行分類、歸納，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)對各個(gè)刺激模式中的共同屬性進(jìn)行抽象，得到其本質(zhì)屬性，最后進(jìn)行抽象概括形成初步概念，并用準(zhǔn)確精煉的符號語言予以表達(dá)。

3、對概念的深化和應(yīng)用的分析

在應(yīng)試教育的影響下，概念的深化和應(yīng)用往往不會被忽略，但是教師在教學(xué)設(shè)計(jì)也要注重選題的代表性和典型性，對于易錯(cuò)點(diǎn)加強(qiáng)練習(xí)鞏固，并遵循循序漸進(jìn)的教學(xué)原則；盡量選擇與生活實(shí)際緊密聯(lián)系的試題，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

4、回顧與反思的優(yōu)點(diǎn)

傳統(tǒng)課堂知識總結(jié)因式分解的定義以及因式分解的方法。而案例中的老師還讓學(xué)生回顧了概念的形成過程。傳統(tǒng)課堂的總結(jié)止步于知識與技能的層面，而案例中老師對過程與方法，情感態(tài)度、價(jià)值觀的課程目標(biāo)方面都有涉及。例如：第二個(gè)問題是讓學(xué)生回顧概念的獲得過程和應(yīng)用過程，促進(jìn)學(xué)生數(shù)感、符號意識、應(yīng)用意識等核心概念方面的發(fā)展。通過第三個(gè)問題讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān)，體會數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活。

課堂的回顧與反思不應(yīng)只停留在知識的層面，只是讓學(xué)生思考本節(jié)課所學(xué)的概念。而是要讓學(xué)生在掌握概念的同時(shí)，懂得課堂上是如何研究和獲得概念的，掌握研究和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法。因此，概念的形成過程不僅要在教的過程中體現(xiàn)，還有讓學(xué)生自己習(xí)得概念形成的全過程。

六、總結(jié)與提升

通過傳統(tǒng)課堂與案例的對比，得出概念形成的教學(xué)過程。

在課堂教學(xué)的過程中，應(yīng)注重概念形成是有特殊到一般，具體到抽象的過程，讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的整個(gè)過程。也就是說，在課堂上，不僅要教給學(xué)生：“什么是什么”，還要學(xué)生明白它是怎樣從生活中歸納，抽象，概括，最終形成概念。這樣的過程可以促進(jìn)學(xué)生對概念的理解和學(xué)習(xí)，同時(shí)也可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。課堂上，應(yīng)注意三維目標(biāo)的落實(shí)，不可忽略“過程與方法，情感態(tài)度與價(jià)值觀”的培養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

1.《數(shù)學(xué)學(xué)與教的心理學(xué)》（第二版），何小亞，華南理工大學(xué)出版社，2016.

2.《數(shù)學(xué)教育心理學(xué)》（第三版），曹才翰、章建躍，北京師范大學(xué)出版社，2014.

3.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版），北京師范大學(xué)出版社，2012.

4.《數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書（數(shù)學(xué)八年級上冊）》，人民教育出版社，2013.