局域共振二維聲子晶體的低頻帶隙特性研究

梁孝東，繆林昌，尤 佺，厲 超，方黃磊，雷利劍

(東南大學交通學院，南京 211189)

1 引 言

隨著我國城市化建設的快速發展，地鐵的建設規模不斷擴大，然而地鐵運行所引發的低頻環境振動問題也日趨嚴重，愈發影響人們的生產和生活[1-2]。研究表明，地鐵運行引發的振動主要分布在200 Hz以下的低頻范圍，主要頻段為40～80 Hz[3-7]，且該頻段的振動對人體危害較大。

聲子晶體是一種新型人工周期性功能材料，其具有彈性波傳播帶隙特性，對在帶隙頻率范圍內彈性波的傳播具有顯著的抑制作用，這一特性使其能夠實現對特定頻段彈性波的衰減控制，因而聲子晶體在減振降噪領域具有廣闊的應用前景。1993年，Kushwaha等[8]首次提出了聲子晶體的概念。目前認為聲子晶體帶隙的產生機理，主要有兩種：一是Bragg散射機理；二是局域共振機理。2000年，Liu等[9]首次提出局域共振型聲子晶體的概念，他在鉛球外包裹硅橡膠，然后將其周期性地排列在環氧樹脂基體中，制成一種三維聲子晶體，突破了Bragg散射機理的限制，使用較小的結構尺寸便可得到低頻帶隙。最近十幾年，局域共振型聲子晶體由于其突出的低頻帶隙特性吸引了眾多學者的研究。研究人員們相繼提出桿狀、梁狀和板狀等結構[10-15]，來研究其低頻局域共振帶隙特性。與此同時，研究人員們還對聲子晶體的結構進行設計，以獲得更低的帶隙頻率。吳九匯等[14]設計了一種含螺旋局域共振單元的聲子晶體板結構，該結構能夠在低頻打開較寬的帶隙，帶隙起始頻率低至42 Hz，然而該結構的制作較為困難。Gao等[16]研究了一種雙共振單元結構，其可以在50 Hz以下的低頻范圍打開帶隙。祁鵬山等[17]提出一種局域共振二維聲子晶體模型，其研究結果表明多振子和非對稱性有益于拓寬帶隙，并能改善結構的隔聲效果。綜上分析，現有研究很少能在200 Hz以下的低頻范圍內，兼顧帶隙的低頻、寬帶和強衰減特性，難以應用于地鐵的減振隔振。

本文提出一種新型的局域共振二維聲子晶體結構，借助有限元法對結構的低頻局域共振帶隙特性進行了系統的研究。首先，計算了無限周期聲子晶體的能帶結構，并結合振動模態研究了局域共振帶隙的產生機理。其次，基于等效簡化模型對帶隙的影響因素進行了分析。最后，對結構進行優化設計打開了更寬的帶隙，并通過數值仿真對有限周期聲子晶體的低頻帶隙特性進行了驗證。本文所提出的局域共振型聲子晶體結構具有輕質、經濟、低頻、寬帶等優點，在地鐵的減振隔振中具有潛在的應用前景。

2 單元結構及計算方法

2.1 單元結構

新型局域共振二維聲子晶體的單元結構如圖1(a)所示。該單元結構中心對稱，分為四個部分，其中A部分為水泥砂漿基體，B部分為發泡聚苯乙烯連接體，C部分為鋼芯體，D部分為微腔。晶格常數為a；水泥砂漿基體邊框的內邊長為b，厚度為e；發泡聚苯乙烯連接體的邊長為c；鋼芯體的半徑為r。鋼芯體位于結構的中心，四個連接體尺寸相同且對稱分布于基體邊框內的四角，四個空心孔洞也對稱分布于基體邊框與鋼芯體之間，整個結構嚴格對稱。單元結構的幾何參數和材料參數分別如表1、表2所示。

圖1 (a)單元結構；(b)不可約Brillouin區(陰影部分)Fig.1 (a)Unit structure; (b)Irreducible Brillouin area (shaded part)

表1 幾何參數Table 1 Geometric parameters

a/mmb/mmc/mme/mmr/mm40368216

表2 材料參數Table 2 Material parameters

2.2 計算方法

在線彈性、各向同性、無阻尼無源的無限大非均勻介質中，彈性波的控制方程為

▽·(C(r):▽u(r))+ρ(r)ω2u(r)=0

(1)

式中▽為矢量微分算符；r為位置矢量；u(r)為位移矢量；C(r)和ρ(r)分別為材料的彈性張量和密度張量；ω為彈性波的角頻率。而對于各向同性非均勻介質，方程(1)可以簡寫為

ρü(r,t)=(λ+μ)▽▽·u(r,t)+μ▽2u(r,t)

(2)

式中ρ是密度；λ和μ是Lamé常數。取二維晶格平面為xOy平面，軸向為z方向。假設彈性波在xOy平面內傳播，介質中的位移僅與x、y坐標有關，即u(r,t)=u(x,y,t)，則方程(3)可以解耦為XY模式和Z模式的波動方程，其中XY模式的波動方程為

ρ(r)üxy(r,t)=[λ(r)+μ(r)]▽▽·uxy(r,t)+μ(r)▽2uxy(r,t)

(3)

Z模式的波動方程為

(4)

對于二維聲子晶體，根據波在周期結構中傳播的Bloch定理，位移場u(r)可以表示成如下形式

u(r)=ei(k·r)uk(r)

(5)

其中uk(r)為與聲子晶體具有相同周期性的矢量函數；k為第一Brillouin區(見圖1(b))的波矢。單胞的外邊界應滿足如下條件

u(r+a)=ei(k·a)u(r)

(6)

其中a為晶格常數矢量。利用有限元軟件求解波動方程時，由于聲子晶體的周期性，計算可在一個單胞內進行。用有限單元劃分網格后，單胞離散形式的特征值方程可寫為

(K-ω2M)u=0

(7)

式中K為剛度矩陣；M為質量矩陣；u為單胞的位移矩陣。

結合邊界條件(6)和特征值方程(7)，就可以在給定波矢k的情況下求解特征頻率。求解時，只需要令波矢k沿著不可約Brillouin區(見圖1(b)中陰影部分)的邊界M-Γ-X-M進行掃描即可。

3 局域共振帶隙特性及機理分析

圖2 能帶結構圖Fig.2 Band gap structure diagram

圖2為圖1(a)結構的能帶結構圖，其中實線是XY模式的能帶結構圖，虛線是Z模式的能帶結構圖。XY模式時，該結構存在一個頻率范圍為39.77～133.43 Hz帶隙，帶寬為93.66 Hz；而Z模式時，存在一個頻率范圍為32.87～110.33 Hz的帶隙，帶寬為77.46 Hz。綜合XY模式和Z模式的能帶結構圖，可以發現，在200 Hz以下的低頻范圍內，該結構打開一個頻率范圍39.77～110.33 Hz，帶寬為70.56 Hz的完全帶隙，如圖中陰影部分所示。該結構在低頻范圍內打開的帶隙，能夠很好地覆蓋地鐵振動的主要頻段。為了進一步說明該結構低頻帶隙的形成機理，選取第一Brillouin區的高對稱點A1、A2、B、C1、C2、D和E，分析其對應的振動模態，如圖3所示。

對于XY模式，帶隙下邊界的A1和A2點對應于鋼芯體的平移振動模態(圖3(a)和(b))，振動主要集中在鋼芯體上。該振動模態下，鋼芯體帶動四角的發泡聚苯乙烯連接體作xOy平面內的平移運動，而基體邊框趨于靜止。鋼芯體對基體邊框存在xOy平面內的力，與基體邊框中的長波行波相互耦合，從而導致了帶隙的產生。B點則對應于鋼芯體的扭轉振動模態(圖3(c))，此時鋼芯體作扭轉振動，而基體邊框幾乎不發生振動。該模態下鋼芯體僅對基體邊框產生扭矩作用，而沒有xOy平面內力的作用，基體邊框中的長波行波難以與鋼芯體的振動相耦合，從而在48.34 Hz處產生一條貫穿完全帶隙的平直帶。帶隙上邊界的C1和C2點對應于系統的平移振動模態(圖3(d)和(e))，鋼芯體和基體邊框在彈性連接下作反相位振動，主要是基體邊框在xOy平面內作平移振動，而鋼芯體的振動很小。此時，基體邊框中長波行波與鋼芯體振動的耦合作用很弱，帶隙從而截止。

而對于Z模式，帶隙下邊界的D點對應于鋼芯體在z方向(垂直紙面方向)的共振(圖4(a))，而帶隙上邊界的E點則對應于基體邊框在z方向的共振圖(圖4(b))。Z模式的帶隙產生機理可參照XY模式進行類似的分析，此處不再贅述。此外，下文對于帶隙影響因素和結構優化設計的分析也都基于XY模式。

圖3 結構振動模態圖(XY模式)Fig.3 Vibration mode diagrams of the structure(XY mode)

圖4 結構振動模態圖(Z模式)Fig.4 Vibration mode diagrams of the structure(Z mode)

圖1(a)結構結構的第一帶隙起始頻率對應的簡化模型如圖5(a)所示，根據上述對帶隙起始處A點振動模態的分析，振動過程中基體邊框趨于靜止，此時局域共振單元可等效為“質量-彈簧”單自由度系統。當振動以彈性波的形式傳播到該單元結構時，會對基體邊框產生力F的作用，而質量塊m1(鋼芯體)的運動同樣對基體邊框產生一個反作用力f，因此基體邊框在外部作用力F和內部反作用力f的共同作用下振動。當外部作用力F和內部反作用力f的頻率相同時，外部作用力就被內部反作用力所抵消，作用在基體邊框上的合力趨于零，局域共振模態被激發，能量被局域共振單元吸收，使得彈性波被共振單元局域化而無法在基體中傳播，從而形成帶隙。局域共振帶隙的起始頻率由“質量-彈簧”系統的固有頻率決定，可由式(8)估算：

(8)

式中，k為彈性連接體的等效剛度，m1為振子的等效質量。

第一帶隙截止頻率對應的簡化模型如圖5(b)所示，此時局域共振單元可等效為“質量-彈簧-質量”雙自由度系統。帶隙截止頻率處，m1和m2在彈簧的連接下，形成反相位振動，彈簧上存在一個位置靜止不動，即“靜點”，帶隙的截止頻率可由式(9)估算：

(9)

式中，k為彈性連接體的等效剛度，m1為振子的等效質量，m2為基體的等效質量。

圖5 具有局域共振帶隙的聲子晶體的簡化模型Fig.5 A simplified model of phononic crystals with local resonance band gaps

4 帶隙影響因素分析

由上述簡化模型的分析可知，帶隙的起止頻率主要與振子的等效質量m1、基體的等效質量m2和彈性連接體的等效剛度k有關。為了進一步分析結構的帶隙特性與材料參數和幾何參數之間的關系，本文研究了芯體密度、基體密度、連接體彈性模量和連接體邊長c變化時帶隙的變化情況，如圖6所示。

圖6 帶隙影響因素Fig.6 Influence factors of band gap

由圖6(a)可知，隨著芯體密度的增大，帶隙的起始和截止頻率均降低，但是截止頻率的變化率較小，帶隙寬度隨之增大，所以帶隙的起始頻率與芯體密度緊密相關。該變化規律可用上述的等效簡化模型公式來解釋，根據式(8)，芯體密度增大，則振子的等效質量m1增大，而等效剛度k不變，所以系統的固有頻率降低，帶隙的起始頻率隨之降低；根據式(9)，振子的等效質量m1增大也會導致帶隙的截止頻率的降低，但變化率較小，所以帶隙寬度會增大。

由圖6(b)可知，隨著基體邊框密度的增大，帶隙的起始頻率保持不變，而截止頻率降低，帶隙寬度減小，所以帶隙的截止頻率與基體邊框的密度相關。因為改變基體密度并不會引起系統固有頻率的改變，所以帶隙的起始頻率保持不變；而根據式(9)，基體的等效質量m2的變化則會引起帶隙截止頻率的變化。

由圖6(c)可以看到，隨著連接體彈性模量的增大，帶隙的起始和截止頻率均升高，但截止頻率的變化率大于起始頻率的變化率，帶隙寬度整體增大。分析可知，增大連接體的彈性模量，則簡化模型中的等效剛度k增大，而等效質量不變，所以帶隙的起始和截止頻率均升高。此外，由式(8)和式(9)可計算得到帶隙的寬度，見式(10)。根據式(10)可知，等效質量不變時，帶隙寬度與等效剛度k呈正相關。

(10)

圖6(d)則描述的是帶隙與連接體邊長c的變化關系，其變化規律與圖6(c)相同。分析可知，增大連接體邊長c即增加連接體的填充度，相當于增加了連接體的等效剛度k。其中當c=18 mm時，連接體填滿微腔，結構即變為全連接結構，此時帶隙的頻率范圍為116.73～391.51 Hz，雖然帶隙寬度很大，但是帶隙起始頻率較高。

根據以上分析可知，等效剛度k一定的情況下，帶隙起始頻率由芯體的密度決定，截止頻率主要由基體邊框的密度決定，而等效剛度k具有放大帶隙寬度的作用。因此，增大芯體的密度、減小基體邊框的密度并增大連接體的彈性模量，可以使得帶隙向低頻范圍移動并拓展帶隙的寬度。

5 復合單元結構優化及傳輸特性

根據上文的分析，局域共振帶隙是因為共振單元的局域共振模態與基體中的行波進行耦合而產生的。對于單質量塊構成的結構單元，不論如何改變結構的材料和幾何參數，都只對應一個平移振動模態和扭轉振動模態的固有頻率，也就只能打開一條局域共振帶隙。為了拓寬帶隙范圍，本文對結構進行了優化，提出局域共振復合單元結構，即在基體邊框內按2×2的排列方式對稱布置4個芯體質量塊，芯體之間以連接體相連，且仍與基體邊框的四角相接，芯體的半徑與圖1(a)中相同，芯體、基體邊框和連接體的材料參數也與圖1(a)中保持一致。該局域共振復合單元結構的單元模型如圖7(a)所示。

圖7 復合單元結構及其能帶結構(XY模式)Fig.7 Composite unit model and band gap structure(XY mode)

利用有限元軟件同樣計算了該復合結構XY模式的能帶結構圖，如圖7(b)所示。可以看到，該結構在200 Hz以下的頻率范圍內打開了兩條局域共振帶隙，帶隙范圍分別為30.86～39.21 Hz和39.72～149.17 Hz，總的帶隙寬度達到117.8 Hz，帶隙范圍內還出現了多條平直帶。與原單元結構相比，優化后的復合單元結構的帶隙起始頻率降低了22.4%，且帶隙寬度增大了25.8%。由上文分析可知，帶隙內的平直帶對應于質量塊的扭轉振動模態，質量塊的數目增加，則對應的扭轉振動模態也越多，所以帶隙內出現多條平直帶。但是多個扭轉振動模態相互耦合也會產生消極作用，即在39.5 Hz附近出現分割完全帶隙的窄通帶。同時，該結構內質量塊按2×2的方式排列，其在兩個方向上是等效的，縱向與橫向的局域共振模態趨于簡并，使得系統固有頻率降低，即帶隙起始頻率降低；而如果將該復合結構平均到每個質量塊，其基體的等效質量要小于圖1(a)中的結構，所以帶隙截止頻率升高，帶隙總寬度增加。

此外，為了驗證兩種單元結構的低頻局域共振帶隙特性，利用有限元法計算了x方向具有10個周期單元的模型的頻率響應函數。在有限元軟件中，首先按照單元結構的參數在x方向上建立10個周期的模型，然后在模型的一端施加y方向的單位加速度激勵，并使頻率掃過0～200 Hz，在模型的另一端拾取相應的加速度響應，即可得到頻率響應函數。頻率響應函數的定義如下[18]：

(11)

圖8 兩種單元結構的頻率響應函數(x方向10個周期)Fig.8 Frequency response functions of two types of unit structures (10 cycles in the x direction)

式中：X和X0分別為拾取端和激勵端的加速度，T為頻率響應函數值。

圖8給出了兩種單元結構的頻率響應函數曲線，其中實線和虛線分別表示復合單元結構和初始單元結構的頻率響應函數曲線。可以看到，兩條頻率響應函數曲線中均存在一個振動衰減區(陰影部分表示復合單元結構頻率響應函數的振動衰減區)，其頻率范圍與圖2和圖7(b)的能帶結構圖吻合較好。對于復合單元結構，其頻率響應函數曲線衰減區的起止頻率處，分別出現共振峰P1和P3，而39 Hz附近出現的共振峰P2則對應于能帶結構中的窄通帶。通過比較可以發現，復合單元結構的平均振動衰減比初始單元結構多10 dB左右，即優化后的結構對振動波的衰減能力增強。

6 結 論

提出了一種新型局域共振二維聲子晶體結構，采用有限元法計算其能帶結構，對其帶隙的形成機理和影響因素進行了詳細的分析，并進一步對結構進行優化設計，得出以下結論：

(1)該結構可以在200 Hz以下的低頻范圍內打開寬度70.56 Hz的完全帶隙，其帶隙的起始頻率低至39.77 Hz；

(2)帶隙是由局域共振單元與基體中行波長波發生相互耦合作用而產生的，等效剛度k一定的情況下，帶隙起始頻率由芯體的密度決定，截止頻率主要由基體邊框的密度決定，而等效剛度k具有放大帶隙寬度的作用；

(3)優化后的復合單元結構能夠打開更低更寬的帶隙，XY模式的起始頻率進一步降低至30.86 Hz，與原始結構相比，起始頻率降低了22.4%，且帶隙寬度增大了25.8%，并且對振動波的衰減性能提升。

該結構具有優越的低頻局域共振帶隙特性，能夠很好地覆蓋地鐵振動的主要頻段，在地鐵的減振隔振領域中具有潛在的應用前景。