淺談數學高考選做題中的極坐標和參數方程

曾芳芳

極坐標和參數方程是數學高考選做題中的一個內容，也是考生的一個得分點，近幾年的高考中這部分的內容出題相對穩定都屬中檔題目，所以在高考中這部分盡量拿到滿分是我們平時訓練的目標。但在平時的學習中，很多的同學往往搞不清楚什么時候用極坐標方程，什么時候用參數方程，所以做題束手無策，本文就如何扎實掌握好極坐標方程和參數方程的內容談談自己的看法，希望能對教師和同學們有所幫助。

一、區分清楚普通方程、極坐標方程、參數方程的關系

一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標（x，y）都是某個變數t的函數：，并且對于t的每一個允許的取值，由方程組確定的點（x，y）都在這條曲線上，那么這個方程就叫做曲線的參數方程，聯系變數x、y的變數t叫做參變數，簡稱參數。相對而言，直接給出點坐標間關系的方程叫普通方程。

在平面內取一個定點O，叫極點，引一條射線Ox，叫做極軸，再選定一個長度單位和角度的正方向（通常取逆時針方向）。對于平面內任何一點M，用ρ表示線段OM的長度（有時也用r表示），θ表示從Ox到OM的角度，ρ叫做點M的極徑，θ叫做點M的極角，有序數對（ρ，θ）就叫點M的極坐標，這樣建立的坐標系叫做極坐標系。通常情況下，M的極徑坐標單位為1（長度單位），極角坐標單位為rad（或°）。

圖1可以很直觀的看到它們之間的關系。

二、一題多解，歸納對比區分三種方程

歸納對比法是歸納法和對比法的綜合運用。科學史上，運用歸納法的典型代表是牛頓，他在《自然哲學數學原理》中說，“科學研究的實質是歸納的”。對比法也是科學研究和發現的重要方法?！坝斜容^才能有鑒別”。把歸納與對比聯合起來使用，不僅是進行科學研究的方法，同時也是重要的教學方法。所以在平常的教學時，我們為了講清楚這三種方法，可以找一個三種方法都可以使用的典例，這樣學生能更好的掌握這三種方程。

例在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為（α為參數），以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ=sinθ。

（1）寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程;

（2）若射線l ： y=kx（x≥0）分別交C1，C2于A，B兩點（A，B異于原點），當時，求|OA|·|OB|的取值范圍。

①化簡完第一個問就可以看到C1是圓（x-1）2+y2=1，C2 ： y=x2，l ： y=kx（x≥0）都很簡單，聯立可以求出A，B（k， k2），利用兩點的距離公式化簡|OA|·|OB|=2k，，∴|OA|·|OB|。所以如果選做題給出的曲線是圓，那么用普通方程，學生更容易能理解;或者聯立方程很容易求出解的也可以用普通方程。

②觀察到l ： y=kx（x≥0）必過定點（0，0），所以|OA|表示直線l上點A到定點（0，0）的距離，可用A點對應的參數|tA|表示，同理，|OB|可用B點對應的參數|tB|表示，|OA|·|OB|=|tA||tB|，所以，把射線l ： y=kx（x≥0）化成參數方程（t為參數）代入C1，C2求出tA，tB即可。所以給出直線的定點，就選擇參數方程。

③觀察到|OA|·|OB|中的O是極點，|OA|表示A點對應的極徑|ρA|，|OB|表示B點對應的極徑|ρB|，把圓化成極坐標ρ=2cosθ，求出ρA=2cosθ，，|OA|·|OB|=ρAρB=2k。所以與極點有關系的距離問題都可以用極坐標去解決。

通過這樣的對比，學生就不會搞混三種方程，反而能更容易區分什么條件下用那種方程，并且在做題時能根據題目的意思快速的選擇最好的方法去解題。

另外，從圖1中可以看出普通方程和參數方程是在直角坐標下的方程，并且參數方程比普通方程的優點在于只有一個變量，更容易討論，通常在求最值問題時，用參數方程，最終可以轉化成三角函數求最值問題。

總之，教師在教授這部分內容的時候一定要先講清這三種方程之間的關系，然后讓學生弄清三種方程各自的特點，特別是|tA|和ρ的幾何意義，才能做出正確的選擇;另一方面還要學生在做題時不斷地總結，不斷地反思才能把這部份的內容完全的掌握，高考才會在這部分得滿分。