多維解讀概念，探尋錯例背后的原因
——由求“運動場的周長”一題引發的思考

浙江寧波市奉化區松岙鎮中心小學 汪 杰

概念教學是數學教學的一項重要內容，因此數學概念的掌握不只是簡單的記住文本定義，而是要形成與概念直接聯系的“整體性”的認知結構，包括相應的心智圖像、對概念性質的辨認、對直觀操作過程的識記、相應的范例重現等，這些就是被稱之為數學概念的心理表征。其中“周長”是小學“圖形與幾何”領域的一個重要概念，筆者教學完“圓的認識”單元后，在周長的應用練習中發現了這樣的問題。

一、錯例描述

一個運動場（下圖），兩端是半圓形，中間是長方形。這個運動場的周長是多少？

在解決本題之前，學生已經會比較熟練地求一個圓的周長，而且本題的素材來源于學生的生活實際，對于六年級的學生來說并不難。然而反饋情況大出意外，學生普遍呈現了兩種錯例。

課后與其他年段的教師交流居然深有同感，雖然平時教學都很注重周長與面積的比較，如反復講解兩者的區別；講解公式的含義；求同一個圖形面積與周長練習；隔三岔五地解決問題，有一定的效果，但卻不能徹底消除“病癥”，而且達成一個共識：求組合圖形周長的出錯率明顯高于求面積，“簡單的周長”并沒有想象中的簡單。

二、概念解讀

那么造成求組合圖形周長困難的原因到底在哪里呢？筆者為此展開多個維度的周長概念解讀，以期獲得新的認識。

1.上位數學知識解讀

在小學階段，人教版數學對周長的定義是這樣的：“封閉圖形一周的長度，就是它的周長。”而在高等數學中比較精確的周長定義為：“環繞有限面積的區域邊緣的長度積分，叫作周長。”兩者定義中都包含了相同的要素“度量的對象——封閉圖形的一周”“度量的結果——長度和”，但選用的描述用詞卻大不相同，兩者相比我們可以發現：

其一，高數版定義中的“環繞”“邊緣”兩詞很生動，形象地說明了從某一點出發，沿著周界回到起點，從而形成一條封閉的邊線，其動態的過程便于學生描述，同時滲透判斷一周的好辦法——“跑一跑”；其二，“長度積分”比“長度”多了“積分”兩字，凸顯了周長不但需要度量長度，更要對度量結果進行累加。例如，三角形的周長就是圍成三角形三條線段的長度總和，又如圓的周長其實是許多圓弧累加的長度總和；其三，“有限面積”與“封閉圖形”兩詞雖然不同，但指明了周長與面積都依存于封閉圖形中，有面積就一定有周長，兩者相互依存，學習時人為割裂反而造成面積與周長概念互相混淆。

由此可見，從高位的視角來看待小學數學的概念定義，可以發現許多新的理解。

同時為了更好地抓住概念的本質，我們還可以從概念的特點來分析。通常在生活中我們都會碰到求籬笆總長等問題，這時需要一個固定的唯一的值來量化，這個具體的“數”就是周長。而這個“數”的獲得，經歷了“找一周”“度量”“求和”等一系列活動，具有清晰的“過程”性。因此，周長概念從“為了得到一個數表達周長”的結果需求出發，到經歷“如何得到這個數”的操作過程，最終是“過程”和“結果”的共同體。

事實上，面積、體積等概念也具有“過程”與“結果”的兩重特性，而周長作為“度量類”概念的起始學習內容，其過程性經驗的積累就顯得非常關鍵。

2.概念學習材料解讀

在三年級周長概念形成階段，教材提供了圖1作為學生學習的材料，在概念的應用環節中又設計了圖2作為鞏固習題。

圖1

做一做：

先量一量，再算出下面每個圖形的周長各是多少。

圖2

我們先來看圖1的素材，涉及各種物體表面與平面圖形，涵蓋了直邊、曲邊與不規則的一周邊線，為學生感知周長提供了豐富的活動材料。那為什么要呈現各種不同的物體表面呢？一方面教材清晰地表達了數學的知識來源于生活，學習周長需要基于學生的生活經驗來展開；另一方面物體表面中有許多的干擾元素，如樹葉內部有許多葉脈，鐘面有數字、刻度，等等，學生在辨析“一周是什么”的過程中，逐步感悟到一周是一條“從起點回到起點的封閉邊線”，這種過程性經驗的積累，有助于學生形成“一周”清晰而又穩固的心智圖像。

然而書本中的學材雖然豐富，但作為研究周長的典型正例卻都不適宜。以教學中教師采用最多的樹葉素材為例，其具有“一周邊線”與“內線”的對比功能，但缺失的是感知“長度累加”的功效，因為學生既沒有測量樹葉邊線的經驗，也不具備準確測量的技能與方法，更遺憾的是沒有測量長度的“真”需求。

再來看圖2的鞏固習題，三個圖形的一周邊線簡單明了，學生無須“找一周”，憑借測量長度與計算求和就能獲得周長，這樣的過程性體驗是不完整的，到后續求復雜組合圖形的周長時，只懂“計算求和”，無視“一周在哪”的先天不足就會顯現。

3.教材知識體系解讀

為了更好地理清小學階段周長概念的生長邏輯，筆者還整理出人教版數學有關周長知識體系表。

從整個體系來看，周長的概念形成階段在三年級。首先讓學生感悟到周長的研究對象和基本要素后，組織學生探究長正方形的周長，在概念應用中實現算法的優化，并建立公式模型；最后通過求圖形拼組、分割后新圖形的周長等綜合性較強習題的操練，明晰面積與周長之間的區別，進一步凸顯概念的本質。

周長概念的綜合應用期在六年級，教材中設計了不少求圓周長與面積的生活實例，先讓學生經歷數學抽象的過程，再進行圖形轉化或直接運用公式解決問題。到這一階段時，顯然目標定位在數學抽象與策略優化。

比較尷尬的是四五年級，存在著一個較長時間的知識“斷層期”，特別是在五年級研究多邊形的面積時，整個單元注重的是面積公式的推導過程，教材既沒有周長與面積公式的比較，也沒有出現求組合圖形周長的習題。由此經歷一定量的練習后，學生自然看到組合圖形就運用面積公式求值，而這種慣性思維對周長的過程性經驗會產生強烈干擾。

三、歸因分析

鑒于以上三個維度的概念再解讀，我們不難找到錯例的原因何在。

第一個錯例的主因是學生對周長概念的意象不清。筆者課后與部分學生進行了訪談，學生們指著面積的區域說“一個圓的周長加上長方形的周長就可以了”，當筆者追問“那一周在哪里呢？”，學生才認識到自己錯了。顯然這部分學生對周長的核心要素“一周邊線”“長度”心智圖像模糊，導致與面積的概念表象互相干擾，對概念的辨別主要依靠觀察文字描述，如看單位，找問題中的關鍵詞“一周”“長多少”。

第二個錯例的主因是學生求周長的過程性經驗不足。“先找一周邊線”→“測量累加求和”求周長的過程，在實際解決問題的過程中往往變成了應用公式求值的過程，這也側面反映了我們教師在教學過程可能更注重周長值的獲得，忽視了對于求周長過程性經驗的整理回顧，由此學生頭腦中形成的獲得周長的過程記憶往往是零散的、片面的、不完整的。

綜上所述，在概念教學之前，我們不妨先解讀相關概念的上位數學知識，從而對其內涵有更加清晰的理解，更容易抓住本質；還可以仔細研究教材提供的學習材料，從其功能性、適切性等角度進行思辨，便于選材時揚長避短；也需要站在整個體系來看待概念的生長過程，進一步理清不同階段所需達到的目標，由此進行適時的強化、比較、聯結等，最終讓概念實現穩固而又深刻的建構。