借助幾何畫板對一道圓中問題的動態探究

王彬

原題：如圖1，在半徑為5的⊙A中，弦BC，DE所對的圓心角分別是∠BAC，∠DAE，已知DE＝6，∠BAC+∠DAE＝180°，則圓心A到弦BC的距離等于多少？

這道題雖然是圓中的小題，但卻是一道難題。已知條件給定了兩個圓心角的和為180°，給定了其中一個圓心角所對的弦長，求圓心到另一條弦的距離。學生拿到題目后不容易想到從哪里入手。有弦能想到垂徑定理，于是做輔助線，也只有作輔助線后才能把角度、弦和弦心距聯系到一起，最終通過證明三角形全等得到所求的距離。

解法1：如圖2，過點A分別向弦CB和弦DE作垂線，垂足分別為F、G

由圓中的關系定理可知在同圓中，圓心角、弦、弧、弦心距幾個量中，只要有兩個量相等，其余的各組量都相等。關系定理的證明是通過旋轉證明的。也可以說在旋轉的過程中，這幾組量是不會變化的，那我們是否能用旋轉其中一組圓心角和弦的辦法讓問題得到突破呢？能夠想到旋轉也是因為原題中有一個兩角的和為180°的條件，而特殊角180°的出現，會讓我們的問題另辟捷徑嗎？拭目以待。

解法2：如圖3，當我們把∠BAC旋轉使點B和點E重合。

∵∠BAC+∠DAE＝180°

∴∠CAD＝180°，即CD為直徑

過點A作AF垂直于CE于F

由垂徑定理可知，CF＝FE

即，F為CE中點

又∵圓心A也是直徑CD的中點

∴AF是△CDB的中位線

可以借助幾何畫板，快速直觀解答，那么學生手中沒有幾何畫板怎么解答呢？教師要借助幾何畫板培養學生動態分析和解決問題的能力。學生通過添加輔助線，把動態的最終結果呈現出來。

解法3：如圖4，延長CA交圓A于點F，并連接BF

∵∠BAC+∠DAE＝180°

又∵∠BAC+∠BAF＝180°

∴∠DAE＝∠BAF

∴BF＝DE＝6

過A作AG垂直于BC于G

則CG＝BG

即G為CB的中點，又圓心A為CF的中點

∴AG是△CBF的中位線

幾何畫板在動態解決這道題的過程中，通過旋轉使題目中位置關系和數量關系更直觀，使原本復雜的問題變簡單。但作為教師使用幾何畫板更重要的功能就是借助幾何畫板的動態演示、分析和求解的過程，培養學生動態分析和解決問題的能力。