應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，提升數(shù)學(xué)解題效率

江蘇省連云港市東海縣房山高級(jí)中學(xué) 陳文廣

相較于初中階段所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，高中數(shù)學(xué)抽象性、復(fù)雜性的特點(diǎn)尤其明顯。對(duì)此，若將抽象性的問題直觀化、復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，學(xué)生們學(xué)習(xí)和理解相關(guān)知識(shí)的效率會(huì)大大提升。因此，在實(shí)際教學(xué)的過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生們采用代數(shù)法將復(fù)雜的式子用通俗的解答方法予以轉(zhuǎn)化，采用幾何畫圖法在圖形中直觀地展現(xiàn)式子各部分的內(nèi)在關(guān)系，也可以靈活地變換數(shù)與形，深層次地探究函數(shù)圖像之間的關(guān)系，從而高效地解答相關(guān)數(shù)學(xué)習(xí)題。

一、代數(shù)法，關(guān)注結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

代數(shù)法是數(shù)形結(jié)合思想中以數(shù)助形的應(yīng)用過程，一般用于求解函數(shù)的值域或值、判斷函數(shù)單調(diào)性的過程，也應(yīng)用于含有三角函數(shù)、不等式的解答過程，是高中數(shù)學(xué)中重要的解題方法。因此，在實(shí)際教學(xué)的過程中，教師應(yīng)適時(shí)地為學(xué)生們引入代數(shù)法的求解過程，引導(dǎo)其關(guān)注結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并在分析研究的過程中快速地予以解答。

由以上例子容易發(fā)現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)中的許多習(xí)題乍看之下涉及了各種各樣的知識(shí)點(diǎn)，但仔細(xì)分析其式子的結(jié)構(gòu)，再采用相對(duì)應(yīng)的較為簡(jiǎn)單的代數(shù)法進(jìn)行解答，將數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系靈活地運(yùn)用起來，不僅可以有效地提高學(xué)生們的解題速度，也可以進(jìn)一步地鞏固學(xué)生們對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解，為后續(xù)靈活解答數(shù)學(xué)習(xí)題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、幾何法，展示內(nèi)在聯(lián)系

以形助數(shù)也是解答高中數(shù)學(xué)題目的有效方法之一。實(shí)際解答的過程中，若是不能夠借助圖形特點(diǎn)予以解答，在遇到一些解答過程比較繁復(fù)的習(xí)題時(shí)，往往會(huì)花費(fèi)大量的時(shí)間，解答的結(jié)果也不一定正確。對(duì)此，教師引導(dǎo)學(xué)生們結(jié)合不同題目中涉及的圖像特點(diǎn)，在揭示其內(nèi)在聯(lián)系的過程中，解答題目就會(huì)變得事半功倍。

比如：已知|x-3|+|x-4|＜a的解集是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少？本題中需要求解a的取值范圍，觀察題目我們可以發(fā)現(xiàn)，若采用代數(shù)法解答，解答的過程會(huì)十分繁復(fù)，出錯(cuò)的幾率也比較高，這時(shí)，我們可以結(jié)合函數(shù)圖像的特點(diǎn)來研究這道題目。首先，我們構(gòu)造函數(shù)，使得f(x)=|x-3|+|x-4|、g(x)=a，緊接著，我們將題意進(jìn)行延伸，即使函數(shù)f(x)的圖像比函數(shù)g(x)的圖像高，如圖1所示：

圖1

分析圖中的幾何關(guān)系，我們可以直接得出a的取值范圍，即：a≤1。

由此可見，運(yùn)用幾何法解答此類數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)，不僅能夠?qū)㈩}設(shè)條件直觀地展示到學(xué)生們面前，還能夠讓學(xué)生們?cè)诜治鲱}目特點(diǎn)的過程中進(jìn)一步地理解函數(shù)圖像的性質(zhì)，把握數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵，為數(shù)學(xué)解題能力的提升奠定基礎(chǔ)。

三、變換法，探究函數(shù)圖像

數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中得到許多師生的青睞，還有一個(gè)重要的原因便是數(shù)與形之間的變換是多種多樣、妙不可言的。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，教師巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合變換法，能夠促進(jìn)學(xué)生們對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解和應(yīng)用，也能夠使得學(xué)生們?cè)诟又庇^的體驗(yàn)中感受高中階段不同的函數(shù)圖像之間的差異以及各個(gè)圖像中蘊(yùn)含著的數(shù)學(xué)意義。

比如，復(fù)雜函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，不僅要求學(xué)生們能夠掌握幾種函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，還要求其在解答綜合習(xí)題時(shí)能夠快速解答，這時(shí)就需要數(shù)形結(jié)合變換法來配合。例如解答以下習(xí)題：已知0＜a＜1，求方程a|x|=|logax|實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)。觀察此題目，我們可以發(fā)現(xiàn)，本題涉及指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)兩種函數(shù)，想要求出方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，就得分析兩種函數(shù)圖像的交點(diǎn)有幾個(gè)，這時(shí)，我們就得將兩種函數(shù)的圖像分別畫出來，在圖形中找到相交的點(diǎn)，從而分辨方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)。在繪圖的過程中，需要學(xué)生們靈活地運(yùn)用這兩種函數(shù)圖像的特點(diǎn)。

實(shí)際解題的過程中，學(xué)生們將會(huì)遇到許多類似的題目，若是想要高效、準(zhǔn)確地予以解答，不僅要求學(xué)生們掌握各種函數(shù)的性質(zhì)和特征，還要求學(xué)生們能夠靈活運(yùn)用，在分析函數(shù)圖像的過程中準(zhǔn)確地解答相關(guān)習(xí)題。

總而言之，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中重要的教學(xué)思想，在高中數(shù)學(xué)解答的過程中扮演著重要的角色。因此，高中數(shù)學(xué)教師在初期函數(shù)圖像、性質(zhì)的教學(xué)過程中，就應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生們關(guān)注“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系，為后續(xù)數(shù)形結(jié)合在解題過程中的應(yīng)用打好基礎(chǔ)。