根據微積分理論來認識康托集合論的錯誤

四川省攀枝花市老年科學技術工作者協會 張喜安

康托集合論的基本觀點是：一個無窮集合可以和它的一個真子集一一對應，部分可以和全體相等。這個觀點正是康托集合論的一個定理，現在我們稱這個定理為康托集合論的基本定理，為了論述得方便，我們把這個定理及其證明引述如下：

康托集合論的基本定理 令a，b為實數，并且a＜b，則[a，b]的基數等于[0，1]的基數。

證明：令y=f(x)=a+(b-a)x，顯然y=f(x)為[0，1]→[a，b]的雙射函數，這就證明了[a，b]的基數等于[0，1]的基數。

這個定理表明一個無窮集合可以和它的一個真子集一一對應，部分可以和全體相等。例如，由于存在函數y=2x為[0，1]→[0，2]的雙射函數，所以[0，1]和[0，2]為一一對應的關系，這時無窮集合[0，2]和它的真子集[0，1]一一對應，部分[0，1]和全體[0，2]相等。

為了證明康托集合論是錯誤的，我們將以具體的例子來證明康托集合論的基本定理的證明不能成立。

再有，在[0，1]在x軸上，[0，2]在y軸上，在y=2x的時候，[0，1]和[0，2]是一一對應的關系，這時，我們還要注意到，在y=x的條件下，[0，1]和[0，2]卻是非一一對應的關系。這時我們要問，[0，1]和[0，2]是一一對應的關系，還是非一一對應的關系？這表明，康托的兩個集合間一一對應的定義是不能判斷兩個實數點的集合是不是一一對應的關系。同時我們還要注意到，康托集合論的兩個集合間一一對應的定義是一個全稱量詞命題，如果這個命題是正確的，它就不可能存在相反的命題，但是在y=x的條件下，[0，1]和[0，2]就是非一一對應的關系，這就是一個相反的命題，這個事實說明，康托集合論的兩個集合間一一對應的定義是錯誤的。這個定義是康托集合論的基礎，它是錯誤的，說明康托集合論也就是錯誤的。

根據以上的分析，我們可以得出結論，康托集合論的基本定理的證明不能成立，因此康托集合論是錯誤的理論。