拓展解題思路 培養發散思維

朱小斌

一、教學背景

問題是數學的心臟，解題教學是數學課堂教學的重要形式之一。針對數學問題的特征，在課堂上引發教師與學生之間、學生與學生之間的討論與交流，充分利用相關的數學知識和數學思維方法，尋找解決問題的策略和方法，拓展學生的解題思路，優化學生的思維品質，是解題教學的理想追求。

二、教學過程

出示例題：已知AC，BD 為圓O：x2+y2=4 的兩條互相垂直的弦，垂足為M(1，)，則四邊形ABCD 的面積的最大值為_______.

學生自己獨立思考分析：要求面積的最值，先表達出面積的式子|AC||BD|。相互討論后發現確實能表達出具體的式子。

求解：生：設兩條互相垂直的弦所在直線方程為：

(說明：解決解析幾何問題很大程度要求學生擁有一定的計算能力，這樣的解題方法絕大部分學生都能掌握并運用起來，但能計算到最后，并且又能算對的，就會刷下去一部分學生了。)

師(輕輕詢問)：同學們仔細再想想，完整了嗎？有沒有需要補充的地方？

生1(一拍腦袋)：設直線為點斜式方程時，事先應該確定直線斜率一定存在，那還有不存在的情況呢？

生2：當條兩互相垂直的直線中有一條直線的斜率不存在時，另一條直線的斜率恰好為0，此時所求四邊形的面積

師(肯定)：解題思路清晰，用的是解析幾何中常規的解方程組，韋達定理，弦長公式，需要花一些時間在計算上，有沒有誰想過還會有其他省時的方法嗎？

生3：我覺得幾何法向來會比代數法要省時。

(學生共同合作探究幾何法解決該面積問題。)

生：設圓心O 到直線AC、BD 的距離分別為d1，d2，

則d12+d22=|OM|2=3

所以，四邊形ABCD 的面積

當4-d12=4-d22，即|AC|=|BD|時，等號成立。

師：根據圖形，再結合不等式求解，少了許多的計算，這樣求最值最省時又省力。

數學教學大綱指出：“數學教學中，發展思維能力是培養能力的核心?！彼季S能力的訓練和發展是以暴露思維過程為前提的，是從暴露的過程中得到錘煉和提高的，所以例題探究講解中，師生雙方都必須充分暴露思維過程——解題思路的探索過程，解題方法和規律的概括過程，通過不斷地“暴露”，不斷地“創造”，將隱含著的數學思維方法源源不斷地流入學生的頭腦中，成為學生數學認知結構中的一部分，最終學會數學思維。

課后反思：在解決數學問題的教學過程中，常常需要運用已學過的數學知識，來培養學生分析問題和解決問題的能力；培養學生善于運用歸納、類比的思維方式和創新能力。

數學是研究數量關系和空間形式的一門科學。現代教育采取學生自主學習、合作探究的新型教學方式，樹立“以人為本”的課堂教學理念。學生只有在自主探索的氛圍中，才會有新的知識“生長”出來。數學學科核心素養的教學活動應該把握數學的本質，創設合適的教學情境、提出合適的數學問題，引發學生思考與交流，形成和發展數學學科核心素養。

《數學課程標準》明確指出：“數學學習過程充滿著觀察、實驗、猜測、模擬、推斷等探索性與挑戰性活動，要重視從學生的生活實踐和已有的知識中學習數學和理解數學?！蓖ㄟ^高中數學課程學習，能獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗；提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。