利用極限思維打開解決物理問題的思路

黃賢明

【摘 要】本文論述應用極限思維打開解決物理問題思路的具體措施，提出要捕捉細節找到切入節點，別出心裁尋求最優途徑，回扣題目檢驗結果正誤，即利用極限思想找到解題的切入、最優的計算以及最終結果的檢驗的方法，提高解決問題的效率。

【關鍵詞】高中物理 極限思維 解題思路

【中圖分類號】G ?【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）05B-0123-02

在高中物理的教學中，我們教授給學生的不是片面的問題解決步驟，也不是為了解題而做題，更重要的是教給學生解決問題的方法，讓他們學會如何解決問題。而極限思維，是將實際的問題數據理想化，假設某個數值趨向于一個固定的極限，即無窮接近于極限值。也就是說，將事物發展的趨勢極限化，并將之應用于解題思路切入、最優的計算以及最終結果的檢驗方法等多個步驟中，以找到最佳的物理解題方法。我們發現，學生在解決問題時常常找不到頭緒，不知道從哪里下手，這時極限化思想可以很好地幫助他們找到解題思路，從而解決問題。那么如何在解題各個步驟中運用極限思維呢？本文將從三個大的方面進行簡要論述。

一、捕捉細節，找到切入節點

（一）剔除無關信息，凸出有用信息。在高中物理題目中，我們可以觀察到很多信息，得到很多的數據，然后從這些信息和數據中提取所需要的加以使用，將題目梳理清楚。因此，我們在這個過程中可以利用極限思維，賦予題目一個極限值，排除無意義的干擾信息，找到解題的切入點。

例如，在講解摩擦力時，有這樣一個問題：“有一木塊從靜止開始，從一傾斜的光滑的木板的頂端下滑到粗糙的水平面上，請問它還能夠在粗糙的水平面上運動多長的距離？”面對問題，我們首先要對題目進行分析，木塊從木板上滑下，會受重力、支持力、摩擦力作用，當它滑到木板底端時會有一個速度。這時木塊開始在平面上運動，也受重力、支持力、摩擦力作用。在摩擦力作用下木塊的運動速度越來越慢，最后停止下來。為此我們通過畫圖分析這些力的方向和大小，在圖中將題目中的文字信息表現出來，然后剔除題目中的無關信息。這樣我們就會看到，重力始終豎直向下且大小不變;支持力垂直于木板或者地面，方向與重力分力有關;摩擦力與摩擦因數、木塊重量有關。題目中還有一個信息“光滑的木板”，因此可以把木板與木塊之間的摩擦力忽略。在這個過程中，支持力對運動沒有關系，可以不必把它畫出來。只要懂得木板的長度、木板的傾斜度、木塊的重量、木塊與粗糙平面間的摩擦因數就可以將問題解決。

在分析問題時，要剔除無關信息，抓住關鍵信息，凸出有用信息，簡化思維過程，運用物理的極限思維就能找到解題切入點，從而解決問題。

（二）圈定取值范圍，各個擊破。在我們尋找解題切入點時，要注意題目要求的取值范圍，正確解題。在圈定取值范圍之后，利用極限方法，尋找不同的變量并取其極限，多角度分析，各個擊破，找到解決整個問題的切入點。也就是說，我們從極限取值出發分析普遍現象，獲得最后的答案。

例如，在講授人教版高中物理選修 3-1“串聯電路和并聯電路”時，筆者請學生考慮一個問題：在串聯電路中有一個 5 Ω 的固定電阻 X 和 5～10 Ω 的可變電阻 R，已知電路兩端的總電壓為 U=20 V 且保持不變，這個電路中通過的電流 I 是否可以為 1 A、2 A、4 A 呢？學生根據 ，將電流值代入公式，如將 I=1 A 代入，得到 ，而題中所給的變電阻的值為 15 Ω，超出其范圍，因此電流 I 不可取 1 A，以此類推其他兩種情況。但是通過研究我們發現，這道題就是考查當電阻變化時電路中的電流變化范圍是多少？并不需要將選項中的每種情況都進行計算，只需要考慮電流的最大值和最小值，在此范圍中篩選即可。當可變電阻 R 取最大值時，總電阻最大，根據 ?可知，此時電路中的電流最小為 1.33 A;同理，當可變電阻取最小值時，總電阻最小，此時電路中的電流值最大為 2 A。通過這樣的分析我們能夠得到電路中電流的變化范圍，排除題目中的無關選項，然后再看符合條件的選項中存在哪些條件繼續篩選排除。

我們假設題目中的某個變量到達極限值，根據極限值情況就能將題目簡單化。其實，這些取值范圍是透徹分析題目得到的結果。學生對題目進行剖析時，要更加深入一點，把一切條件都把握好，并在腦海中反映出來，從多角度去將各個問題擊破。

二、別出心裁，尋求最優途徑

（一）關注特殊，盡量化繁為簡。有時我們利用極限思維找到解題切入點并不能解決整個問題，得到最終答案。一道題目的解題方法往往有很多種，這時如果學生能夠利用極限思維找到特殊值，那么就能將復雜的題目簡單化，化繁為簡，便于找到最優的解題途徑。

例如，在講授人教版高中物理必修 1“牛頓運動定律”時，我們先進行了相關的運動實驗：一個木塊從斜木板上滑下，運動了一定的距離 L 后停止;當將這個木塊換成小車，它與木板之間的摩擦力 f 變小，最后在平面上運動的距離 L 也變大;當木板變得更加光滑時，小車運動的距離 L 會更遠一些。這時，我們可以想象一個極限情況，當小車與木板之間的摩擦力 f 無限變小成為 0 N 時，沒有力 F 可以改變它從斜面落下后的運動狀態，它將會保持落下時的速度勻速直線運動，一直運動下去。這就是牛頓第一定律的內涵：力是改變物體運動的原因而不是維持物體運動的原因。我們在實驗中關注到特殊的狀態，即沒有摩擦力 f 的存在，小車不受外力的影響，其運動狀態是不會發生變化的，這極大地簡化了實驗過程。

由此可以看到，當學生利用極限思維找到特殊值時，能夠很好地將問題簡化，解題過程也大大縮減。學生有了這一思想認知，今后遇到類似的問題或者是在其他學科中解題時，都能很好地融會貫通。將復雜的問題簡單化，使學生真正體會到物理這門學科的樂趣。

（二）考慮首尾，明確變化過程。在物理學習中我們會遇到很多有關狀態變化的問題，要想解決這類問題，必須將其運動變化過程進行透徹分析。這就要求學生考慮首尾，即運動前和運動后物體的狀態。然后根據狀態的變化情況，利用極限思維分析其發生變化的過程，找到最簡便的解題的途徑。

例如，在講解人教版高中物理選修 1-2“能量守恒定律”時，我們已經知道能量不會憑空產生也不會憑空消失，那么當一個質量為 m 的小球以速度 v 向前運動，撞擊上一個質量為 M 的大球時，小球靜止，此時大球會以什么樣的速度運動呢？根據能量守恒定律，將大球和小球看作一個運動系統，如將它們之間的摩擦力等外力極限接近于零，則沒有其他的能量損耗。開始時整個系統的能量在小球身上，即 q=mv，結束時整個系統的能量在大球和小球身上，Q=MV+m'v'，這就是運動前后的整個狀態。然后我們看題目中闡述，小球在撞擊了大球以后變成靜止狀態，即 v'=0 m/s，Q=MV=q=mv，M，m，v 都是已知量，代入數值即可得到大球的運動速度 V，也就是說，小球在撞擊了大球以后將自己本身的全部能量全都轉移給了大球。

學生通過分析物體在開始和結束時的狀態，可以推斷其發生了怎樣的變化。再結合題目進行整理歸納，即可得到解題的思路。這時，我們再引導學生就相關的極限條件進行思考和假設，就可得到極限情況下的結果。利用極限方法進行透徹分析，找到最優的解題途徑。

三、回扣題目，檢驗結果正誤

（一）考慮臨界情況，檢驗推導結論。在解決過程中，我們雖然經過了一系列的題目分析和計算以后，得到了初步的結論，但這時還不能算完成，還需要驗證結果是否正確。這時，我們可將推導出來的結果帶入原來的題目中去，得到普遍的答案。若是利用好臨界情況那么就能簡便地進行驗證，節約我們的驗證時間。

例如，在講述人教版高中物理必修 1“相互作用”時，一個人站在電梯里，如果電梯以 ?的加速度做勻減速直線運動，那么人對電梯的壓力 F 是多大？學生將這個人看作一個質點分析其受力：首先受到豎直向下的重力 G，然后電梯對其有垂直向上的支持力 N，G-N=ma，最后受到的加速度與電梯做的運動是相同的，大小一致，方向向下?？梢愿鶕@些得 F=N=G-ma=mg-ma=mg。但是檢驗時發現，當 a=g 這個臨界情況時，人處于完全失重狀態，這時對電梯的壓力恰好為 0 N，那么如題目所講的，當 ?時，人已經脫離了電梯地面，對電梯的壓力 F=0 N，與之前得到的答案不符?？芍鲜鲞@種解題方法是不對的，我們需要重新思考解題策略。

考慮臨界值其實也是一種極限思維的應用，就是將題目中未知數的數值無限接近于一個臨界值，看得到的結果是否與題目要求一致。這大大縮減了檢驗時間，提高了做題的效率和正確率。在教學中，教師要培養學生的檢驗意識，而不是做完題目就不在乎正確與否。

（二）可以無窮放大，檢驗計算數據。在解決物理問題中經常會做一系列的假設，我們檢驗計算結果時也可以利用這一方法。比如，假設某一數值趨近于無窮大，即其最大的極限值，在這種極限情況下去驗證結論。當數據在極限值滿足題目條件時，一般取值自然而然地也就滿足題目要求，得出結論正確的結果，否則就是錯誤的結果。

例如，在講述高中物理選修 1-1“高壓輸電”時，已知高壓電路中的電阻為 1 Ω，當用 400 W 的功率和 1000 W 的功率輸電時，發熱損失的功率哪個更多一些？學生根據公式 ，代入數值可得高壓輸電損失的功率更大。但這樣的結果是正確的嗎？如果是這樣為什么我們國家還會采用高壓輸電呢？帶著這個疑惑我們利用極限思維對該結果進行檢驗：當輸送電壓 U 取無窮大時，P 保持不變，電路中的電流趨近于 0 A，而當輸送電壓 U 無窮小，我們假設為 0 V 時，P 不變，此時電路中通過的電流趨近于無窮大。根據電流的熱效應 Q=I2Rt 可知，電流越大，熱效應越大，線路中損失的功率就越多。也就是說，高壓輸電與低壓輸電相比損失的功率應該是更小的，與我們之前所得到的答案不符。我們應該修正自己的思路，探討為什么這種方法存在缺陷，以及該運用哪一個思路和公式分析和計算。

無窮不是值非常大或者無限小的數字，我們只是假設無限接近但不等于某一個數值，在解題時可以直接帶入該數值得出結論。當這種特殊情況滿足時，往往普遍情況也是滿足的。學生這樣檢驗可以很快發現原來結論中的錯誤點，并進行改正，檢驗原先的計算數據。

總而言之，在物理解題時運用極限思維，可以極大簡化解題過程。學生利用極限可以找到切入點、得到最優解、落實好檢驗，這樣可按部就班地進行學習，循序漸進地掌握更多物理知識。由簡到難，認識到物理并沒有想象中那么困難和枯燥，從而保持了對物理這門學科的熱情和興趣。

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（責編 盧建龍）