“均值不等式”在橢圓中求最值問題

羊榮菡

摘 要?橢圓是圓錐曲線這一章節(jié)中的重要內(nèi)容，在解答題中我們經(jīng)常遇見與它相關(guān)的最值問題，其具有運(yùn)算量大，綜合性強(qiáng)等特點(diǎn).要解決這類問題往往將它轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域，一般利用函數(shù)單調(diào)性解，而均值不等式的應(yīng)用，對(duì)解分式函數(shù)提供了另外一個(gè)途徑.本文以教學(xué)中遇見的實(shí)例加以說明。

關(guān)鍵詞?橢圓;最值;均值不等式

中圖分類號(hào)：O174.54，A 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2019）04-0200-02

在解析幾何解答題中經(jīng)常會(huì)遇到一類分式函數(shù)求最值問題，我們通過一道例題來探討它的一般解法。

例：已知圓，圓，動(dòng)圓P與圓M外切，與圓N內(nèi)切，記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為C。過點(diǎn)的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最大值及此時(shí)直線l的方程。

解：由題知直線的斜率不為0，設(shè)直線為

所以面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為。

思考1：實(shí)際課堂上，大部分學(xué)生做法有所不同，很多人不能解決問題。針對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的問題，分析整理如下：

改變直線方程的設(shè)法①可得：

②與橢圓方程聯(lián)立得

此時(shí)，該如何求最值呢？先平方吧

探究一：接下來，觀察到分式的分子分母中出現(xiàn)x的齊次式，可采用分離常數(shù)

換元，令

從而，將分子中的參數(shù)t整體除到分母上（注意該參數(shù)能否為0，如果可以為0，需單獨(dú)考慮，此處，不再單獨(dú)討論）構(gòu)造出應(yīng)用均值不等式的結(jié)構(gòu)特征。

分離變量和換元再用基本不等式求解是解決二次分式的常規(guī)方法。

探究二：利用均值不等式

思考2：在解法一中也可以用均值不等式簡(jiǎn)化運(yùn)算如下：

S_△AOB=× ??┃OQ┃×┃y₁-y₂┃

=

對(duì)分子應(yīng)用均值不等式，正好可以與分母相約，達(dá)到求得最值的目的。

“積定和最小”“和定積最大”注意：

①均值不等式成立的條件（各因式或項(xiàng)都取正值）②合理尋求各因式或項(xiàng)的積或和為定值③確定等號(hào)能夠成立。不滿足上述條件時(shí)，要適當(dāng)進(jìn)行拆項(xiàng)。添項(xiàng)等變形。

參考文獻(xiàn)：

[1]歐陽(yáng)志輝.橢圓中的最值問題[J].中學(xué)數(shù)理化，2007（03）.