培養理性精神，提升數學素養

姜慧

摘 要?本文從一道易錯題的評講展開，談了如何在課堂上培養學生尊重事實的數學品質，提升數學素養。

關鍵詞?核心素養;理性精神

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2019）04-0203-02

《中國學生發展核心素養（征求意見稿）》提出理性精神的重點是學生尊重事實和證據，有實證意識和嚴謹的求知態度……能運用科學的思維方式認識事物，解決問題。高中數學課程標準修改稿中提到要加強數學核心素養的培養，數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析六個方面。這六個方面概括起來主要是學生理性精神的培養。張維忠教授認為：“數學是理性精神的典范，所以數學教育應該是培養理性精神，理性精神的培養需要關注以下兩大方面：理性的思維意識與習慣、理性的思維方式與能力。”

當前，在學生中普遍存在解題時僅憑直覺發現、就題論題的現象，缺少驗證結論、解題反思的思維過程，更為缺失的是融會貫通，舉一反三，從而培養思維的嚴謹性、發散性的理性精神和創新能力。

進入高三后，試題的評講已經在課堂教學中占據一席之地，特別是易錯題的評講，如何利用學生的易錯題來提高我們的課堂效率，提升學生的數學素養？筆者在一道有關函數定義域的易錯題評講中，基于學生的學習情況，就培養學生的理性精神，完善學生的思維做了一些嘗試，收到了比較好的教學效果，下面就給大家展示我的一個教學案例。

【課堂教學】

問題 ： 已知函數的定義域為，值域為，則的值為.

學生的答案基本都是.

課前找部分學生了解本題解題思路，學生給出的解答過程如下：

因為的值域為，所以恒成立，得

即恒成立。

又因為定義域為，所以，解得.

“實踐是檢驗真理的唯一標準”，課堂上請學生在此范圍內取一個數進行檢驗，比如時，值域為與原題不符，解析錯誤。

這時需要學生反思此題的解題過程，尋找錯誤的出處。本題學生解法的錯誤根源在于對“函數的值域為”的理解錯誤，學生將這一函數值域問題與函數中的另一類含參的不等式恒成立問題混淆了。為了幫助學生發現錯誤，培養學生解題中的理性精神，我沒有直接告訴學生此題的錯誤之處，而是請學生仔細咀嚼“，所以恒成立”這一邏輯推理是否正確？本著否定找特例的原則，學生們很快找到了問題所在，紛紛舉例：的值域為，滿足1恒成立，但不符合題意……有一個同學拋磚引玉，學生們恍然大悟，原來對題目中的這一句“翻譯”錯了，兩者并不等價。此時，課堂又回到起點，此題該如何作答？如何理“值域為”

學生1，默默無語（筆者猜測，還沉浸在恒成立的世界里）

此時我也感到有點手足無措，因為我意識到，若不能讓學生自己找到此題的本質，今后遇到此類問題，學生還是會陷入思維的誤區，為了打破僵局，我提出請學生自由組合討論，對于此題中的“值域為”這一句話到底該怎么破？

……

筆者也順便走到學生中去了解情況，驚喜的發現，學生們邊說著邊在紙上作圖…..好一個“數缺形時少直覺，形少數時難入微”的實證啊。當我用授課助手將學生的圖片投影到黑板上時，原來的困惑已消除，正確的解答也順勢而來，正確解答是，解得或.

教師點評：此題的本質是函數的最小值為1，不等關系中隱藏著等量關系，我們在審題時一定要尊重題目的本意，在將題目的意思進行“翻譯”的過程中，要看看“翻譯”后的語言是否與原文等價。

課堂進行到此時，筆者感覺到學生還是意猶未盡，于是，大膽嘗試，請學生思考數學中的類似問題。有了前面分組的成功經驗，這一次我仍然讓學生自由的探討。很快就有學生找到以偶次根式，分式或對數為介質的函數形式，學生們甚至給出了系列問題，挑部分整理如下：

已知函數

（1） 若函數的定義域為，求的取值范圍.

（2） 若函數的定義域為，求的值.

（3） 若函數的值域為，求的值.

（4） 若函數恒成立，求的取值范圍.

當我看到學生們呈現的題目時，我分明看到題目中有孩子們的智慧的火花在閃爍，學生能從錯題中找到題目的本質，并舉一反三，從多角度把握題目，理解題意，這種課堂上的良好的思維品質及思維習慣將是我們收獲六月高考的資本，從對比函數的值域問題與恒成立問題之間的區別，找到解題的切入點及思考問題的方式，希望同學們好好體會數學解題中的理性精神。

【課后反思】

鄭毓信教授在《數學教育的“問題導向”》一文中告訴我們，“我們從事的任何工作都不應只看到成績，也應該清楚地看到存在的問題或不足之處”，在核心素養的大背景之下，我們的教學不能僅僅以教授知識為主，而是在引導學生學會學習和思考，培養良好的思維習慣，提升學生的數學素養。讓學生在錯誤中成長，積累經驗，從值域為知其然的境界到函數的最小值為1的知其所以然的頓悟直至摸索出怎么樣能知其所以然的升華。

思考問題時有實證意識和嚴謹的求知態度是重要的素養，數學的學習需要學生主動性，對錯題從新反省的意識，正是有了學生取數字驗證發現問題到反例例證和主動動手畫圖實證的舉動，才使得本題豁然開朗，這個過程培養了學生發現問題質疑問題的能力，找到運用科學的思維方式認識事物，解決問題的方法和途徑。

實證意識和嚴謹的求知態度是重要的素養，數學學習需要學生具有較強的主動性，教學中正是因為有了學生的反例實證跟主動做出二次函數圖像的行為，才有了此題解答的正確打開方式，經過學生的努力，最終找到問題的本質。這一過程培養了學生思考問題的能力跟理性思維的習慣，運用科學的思維方式認識事物，解決問題。

數學課堂的教學應該在不同時期采取不同的方式，比如在新授知識時，對概念不僅要精講，還要講通透，而對于習題課或高三的試題講評課，老師要擔好其主導的角色，要善于傾聽學生的想法，理解學生的解題習慣和解題思路，與無聲中幫助學生。此例中，在學生做錯題目之后，老師并沒有對學生進行批評或有關值域知識點的講解，而是找學生私下了解解題的方法，然后拿到課堂上大家一起討論，教師幫助學生發現錯誤、找到問題的關鍵點，請學生思考錯誤所在，通過舉反例，畫圖實證的方式找到正確的解題思路。幫助學生分清了函數的值域與恒成立問題不同之處。

著名教育家波利亞指出：創造過程中的數學，看起來像一門實驗性的歸納科學。學生解題過程中的直覺與事實和證據也許有一點的距離，教師要允許這樣的距離的存在，站在學生的角度思考問題，切實的幫助學生找到思考問題的錯誤之處，逐步引導，從直覺的發現走向嚴密的求實的推理，教師還應該通過恰當的時機的介入引發學生的反思，跟學生一起進行課堂的探究活動，課堂活動是多彩的，它有錯誤，有嘗試，有改進，有進步，有創造。一些在老師眼里看似沒有道理的解法實際有其合理性，需要教師從尊重事實出發，引導學生對問題進行實證，培養學生嚴密的邏輯推理能力和嚴謹的治學態度，從而提高學生的數學素養。

參考文獻：

[1]錢銘.培養核心素養、培育理性精神——以一道數列探索題的教學為例[J].中學數學教學參考，2018（1-2）.