例析一次函數有關的三角形面積問題

高健

摘 要?函數是初中數學中的一個重點，將一次函數的圖象與三角形面積綜合在一起是多年來中考考查的重點題型。主要對初二階段學生所遇到的一次函數和三角形面積問題及解決方法進行了題型歸納總結，為解決此類問題提供一些可借鑒的方法。

關鍵詞?初中數學;一次函數;三角形面積

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2019）04-0158-02

函數是初中數學中的一個重點，將一次函數的圖象與三角形面積綜合在一起是考查學生綜合核心素養和解決問題能力的熱點題型，也是多年來中考考查的重點題型，它充分體現了數學解題中的數形結合思想和整體轉化思想。解決這一類的問題，學生應理解點的坐標的幾何意義，會把點的坐標轉化為線段長度，會把面積轉化為線段，坐標，建立面積問題、線段，坐標之間的聯系。下面，筆者根據自身的教學實踐由一道題目出發進行條件的變換，將一次函數的面積基本問題進行了題型歸類及方法的總結，大部分的面積問題都可以轉化為這兩類四種的基本題型來解決。

一、與一次函數有關的三角形面積基本模型

（一）一條直線與坐標軸所圍成的三角形面積

1.已知解析式求面積

此情況下所圍成的直角三角形兩條直角邊落在坐標軸上，它的長分別是直線與軸、y點橫坐標、縱坐標的絕對值，用此求出三角形的面積

例1：已知直線y=2x-2分別交x、y軸于A、B兩點，則 △AOB的面積等于.

解：令x=0，可得B（0，–2），令y= 0，可得A（1，0），則S_△AOB = ×2×1=1。

2.已知面積求解析式

解決這類問題有兩種方法：

（1）代數的方法，一般用方程去解決：帶著參數b表示出三角形的兩條直角邊，運用方程來解決，過程中需要注意點的坐標不確定象限的情況下線段長度需要加絕對值

（2）幾何的方法：由給出的直線條件判斷直線的位置，比如已知k固定，b不確定就構成了一系列的平行的直線系，找到里面符合條件的分類別求出來.

例2：已知直線y=2x+b與x軸、y軸分別交于點A、B，且△AOB的面積是9，求b的值

解：法一：令x = 0，可得B（0，b），令y= 0，可得，則，

這個一次函數的解析式為y = 2?x + 6或y = 2?x – 6。

【點評】這種方法要注意與絕對值有關的分類討論思想，不可將OA示為，那樣會漏掉一種情況.

法二：觀察函數解析式，可知動直線y=2x+b是一系列平行的動直線，經觀察和分析發現滿足條件的直線在原點O的上方下方各一條，分別分兩種情況來解決：

在原點O上方時：

，

這個一次函數的解析式為y = 2 x + 6

同理，在原點O下方時，∵b<0?，∴b = -6。

這個一次函數的解析式為y= 2x– 6。

（二）兩直線與坐標軸所圍成的三角形面積

1.已知解析式求面積

例3：已知一次函數y= 2x- 2，y = - x +3與y軸相交于B，C兩點，求兩函數圖象與x軸圍成的三角形面積。

解：y= 2x- 2與y= -x+3與y軸的交點坐標為：

B（0，-2），C（3，0）.

解得：

∴

2.已知面積求解析式

例4：已知直線y=2x-2交x、y軸于A、B兩點，點P在軸上，若S_△AOB = 2，求點P坐標。

解：令x= 0，可得B（0，–2），令y= 0，可得A（1，0），①當P在A點右側時，如圖P1，△ABC的高為OB=2，所以AP=2，?P（3，0）。

②當P在A點左側時，如圖P2，△ABC的高為OB=2，所以AP=2，P（-1，0）.

變式1：已知直線y=2x-2交x、y軸于A、B兩點，點P在直線y=2x-2上，若S_△OBP=2，求點P坐標。

解：令x= 0，可得B（0，–2），令y= 0，可得A（1，0），①當P在A點右側時，如圖P1， △ABC的底為OB=2，所以OB上的高為2，即P點的橫坐標為2，?P（2，0）.

②當P在A點左側時，如圖P2，△ABC的底為OB=2，所以AP=2，即P點的橫坐標為2，P（-2，0）。

這類題目的第三條邊是由一動點與一定點構成，兩道題目的不同之處在于，例4是已知高需要確定底，經過改變條件的變式1是已知底需要確定高的長度，兩者都是要將線段長度轉化為坐標，根據象限不同有兩種情況，體現分類討論的思想。

二、基本模型在面積問題中的應用

平時遇到的所有有關一次函數與三角形面積問題均可化為以上基本題型來解決，接下來可用三道典型例題來加以說明.

練習1：已知一次函數y=x+2與x軸交點B，y軸交C，與正比例函數y=2x相交于點P，

（1）求兩直線與x軸，y軸形成的三角形面積;

（2）在x上是否存在一點A，使S_△POA=S_△POB，求出點有坐標;若不存在，請說明理由：

【分析】

第（1）問是典型的例2，求交點坐標，得三角形的高和底即可解決：

第（2）問，只需求出的值，問題轉化為兩直線一坐標軸中變式例4。

練習2：已知直線y=x+3的圖象與x軸、y軸交于A、B兩點，一條直線經過原點，與線段AB交于點C，把△AOB的面積分為2?：1兩部分，求這條直線的解析式

【分析】這道題目體現了分類討論的思想，存在兩種情況，然后問題轉化為兩直線一坐標軸的問題來解決。

通過以上題目的歸納總結可以得出，一次函數所構成的三角形面積問題中，若能夠運用坐標轉化為線段長度直接求出來的三角形面積看作是過則圖形的話，我們把不能直接轉化線段長度的為“不規則三角形”。規則的三角形分為兩類：

（1）有一條或者兩條邊是坐標軸;

（2）至少有一條邊平行于坐標軸。對于不規則三角形我們可以通過分割或者補形的方式讓它具備上面的其中一個條件，轉化為規則三角形來做。

轉化的三角形的面積是基本的面積模型，比較容易得出.因此，只需掌握在第一部分中介紹的兩大類，四種題型的解決方式，所有有關一次函數和三角形面積問題題目都可用轉化的思想轉為為基本模型去解決，解決問題的基本程序是：

（1）確定是否為規則三角形，若不是，則用分割或者補形轉化為規則三角形;

（2）確定交點坐標（可用參數表示）?;

（3）求出有關線段的長度;

（4）將有關圖形的面積化歸為與坐標軸有聯系的幾個基本圖形的和差倍分，然后利用圖象與面積間的關系求解。

參考文獻：

[1]劉美杰.與一次函數有關的面積問題[J].中學數學教學參考，2017.