向量妙解三角形“四心”

周明墩

摘 要 三角形“四心”（如垂心、重心、外心、內心）與平面向量結合在一起的幾何問題是近年來高考命題的熱點，考生解決此類問題時錯誤率較高，甚至束手無策。而掌握好三角形“四心”的定義，利用向量的基本性質能夠更直接快捷地解決此類問題。

關鍵詞 向量解法;三角形;四心

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2019）03-0203-02

三角形“四心”（如垂心、重心、外心、內心）與平面向量結合在一起的幾何問題是近年來高考命題的熱點，考生解決此類問題時錯誤率較高，甚至束手無策。而掌握好三角形“四心”的定義，利用向量的基本性質能夠更直接快捷地解決此類問題。因此筆者搜集了部分資料，結合多年積累的教學經驗，就三角形“四心”與平面向量的聯系作一個歸納，并利用平面向量的相關知識求解三角形“四心”的問題。

一、垂心（orthocenter）——各邊高線的交點：高線與對應邊垂直

【典例】已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，求證：的軌跡過的垂心。

分析：由題意得：

，即點在過點且垂直于的直線上，所以動點的軌跡過的垂心，如圖1所示。

點評：本題考查平面向量的有關運算，兩向量數量積為零它們所在的直線垂直，三角形垂心定義等相關知識的巧妙結合。

二、重心（barycenter）——各邊中線的交點：重心將中線長度分成

【典例】已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，求證：的軌跡過的重心。

分析：由題意得：，當時，表示邊上的中線所在直線的向量，所以動點的軌跡過的重心，如圖2所示。

點評：本題考查向量加法的平行四邊形法則，平行四邊形的對角線互相平分，三角形重心定義等相關知識的融合。

三、外心（circumcenter）——各邊中垂線的交點（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點的距離相等

【典例】已知平面上的一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，求證：的軌跡過的外心。

分析：過中點，當時表示垂直于的向量，所以在垂直平分線上，所以動點的軌跡過的外心，如圖3所示。

點評：本題以向量為載體對三角形的外心進行考查，利用了共線向量定理等相關知識。

四、內心（incenter）——各角平分線的交點（內切圓的圓心）：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等

【典例】已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，求證：的軌跡過的內心。

分析：由題意得：，∴當時，表示的平分線所在直線方向的向量，故動點的軌跡過的內心，如圖4所示。

點評：本題考查的單位方向向量，向量的加減法，菱形的基本性質，角平分線的性質，三角形內心定義等相關知識的深度融合。

以上利用向量妙解三角形“四心”問題的典例，將“形”和“數”緊密的結合在一起，使學生對三角形的“四心”在向量中的表現形式有了進一步的認識，看到了其內在的統一，以及新形式、新特點。平時教學中有意識的對數學知識點進行較為系統的整合，充分考查數學學科核心素養的六個主要方面，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、運算能力、直觀想象和數據分析。并滲透七大數學基本思想方法：函數與方程思想、數形結合思想、分類與整合思想、化歸與轉化思想、特殊與一般思想、有限與無限的思想、或然與必然的思想。無論在提高學生解題能力方面，還是在開拓學生視野方面都大有神益，更能提高我們教師教學的有效性。