向量妙解三角形“四心”

周明墩

摘 要 三角形“四心”（如垂心、重心、外心、內(nèi)心）與平面向量結(jié)合在一起的幾何問(wèn)題是近年來(lái)高考命題的熱點(diǎn)，考生解決此類問(wèn)題時(shí)錯(cuò)誤率較高，甚至束手無(wú)策。而掌握好三角形“四心”的定義，利用向量的基本性質(zhì)能夠更直接快捷地解決此類問(wèn)題。

關(guān)鍵詞 向量解法;三角形;四心

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2019）03-0203-02

三角形“四心”（如垂心、重心、外心、內(nèi)心）與平面向量結(jié)合在一起的幾何問(wèn)題是近年來(lái)高考命題的熱點(diǎn)，考生解決此類問(wèn)題時(shí)錯(cuò)誤率較高，甚至束手無(wú)策。而掌握好三角形“四心”的定義，利用向量的基本性質(zhì)能夠更直接快捷地解決此類問(wèn)題。因此筆者搜集了部分資料，結(jié)合多年積累的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就三角形“四心”與平面向量的聯(lián)系作一個(gè)歸納，并利用平面向量的相關(guān)知識(shí)求解三角形“四心”的問(wèn)題。

一、垂心（orthocenter）——各邊高線的交點(diǎn)：高線與對(duì)應(yīng)邊垂直

【典例】已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，求證：的軌跡過(guò)的垂心。

分析：由題意得：

，即點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線上，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡過(guò)的垂心，如圖1所示。

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的有關(guān)運(yùn)算，兩向量數(shù)量積為零它們所在的直線垂直，三角形垂心定義等相關(guān)知識(shí)的巧妙結(jié)合。

二、重心（barycenter）——各邊中線的交點(diǎn)：重心將中線長(zhǎng)度分成

【典例】已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，求證：的軌跡過(guò)的重心。

分析：由題意得：，當(dāng)時(shí)，表示邊上的中線所在直線的向量，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡過(guò)的重心，如圖2所示。……