深入探究分數概念及其模型

于海杰

[摘 要]分數是數的概念的一次重要擴展，是小學數學的重要內容之一，但由于其具有抽象性和復雜性，被認為是小學階段學生最難理解、最容易出現錯誤的數學概念之一。教師要提高對分數概念的理解及分數概念各知識點之間的整體認識，從整體意義上去建構分數，梳理分數概念及分數模型，以幫助學生理解與掌握分數的概念。

[關鍵詞]分數;分數概念;分數模型

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）23-0019-02

分數與整數不同，分數概念具有多重含義，且分數的書寫形式、計數單位和計算法則與自然數相差很大，因此學生學習分數要困難得多。在我國現行的小學數學教科書中，分數概念的認識主要集中在“分數的初步認識”及“分數的意義”（或“分數的再認識”）兩個單元。圖1為呼和浩特市某小學三年級的學生在學習完“分數的初步認識”后犯的錯誤。

馬珂在《分數概念的認識及其教學研究》中提到，在一次“分數的初步認識”的課堂上，教師告訴學生“分數線下面的部分叫作‘分母”，并問學生分數線上面的部分叫作什么時，很多學生都回答說“分公”。

這些例子都說明學生并沒有完全理解分數的概念及分數線上下的“母子關系”。

一、分數概念

分數起源于分，當平均分配出現的不是整數結果的時候，逐漸就有了分數的概念。許多學者都認為分數在不同情景問題中有不同的意義，總的來說，對分數概念的理解應關注兩條主線和四個維度。兩條主線即是“比”和“數”?！氨取笔侵敢徊糠峙c另一部分之間的關系;“數”是指以有理數形式出現的分數。四個維度即比率、度量、運算、商。

“比率”指的是部分與整體之間的關系以及部分與部分之間的關系。部分與整體之間的關系通常用來描述一個被分開的全體的各個部分，體現了分數的拉丁文“fangere”詞義——分開的意思。如一些教材把分數定義為“把單位‘1平均分成若干份，表示其中的一份或幾份的數”，正是這種關系的體現。部分與部分之間的關系是部分與整體之間關系的擴展，是把部分當成另一個整體。如圖2，黑色部分是白色部分的[15]。

“度量”的定義來源于“測量法”，是指將分數理解為分數單位的累加，即通過數（shǔ）分數單位的“個數”，從而得到不同的分數，直至數出假分數，體現出分數是度量數（分數單位）的累加，這里理解分數單位是關鍵。例如，[47]就是將分數單位[17]累加四次或度量四次的結果。

“運算”是指將對分數的認識轉化為運算過程，通常與分數的乘法和除法有關，這里強調分數是一種轉換。例如，“[8×34]”可以理解為將8平均分成4份，取其中的3份，即“[8×34]”可以表示為“[8÷4×3]”。

“商”主要指在除法運算中如果除不盡時，其結果可以用分數形式來表示，更準確地說，分數是兩個整數的“商”，是可以和其他有理數一樣進行加、減、乘、除等運算的數。例如，“[30÷7=4……2]”還可以表示成“[30÷7=427]”或“[30÷7=307]”，這里需要注意的是運算的結果“商”是分數，但分數部分的分母是等號另一邊的除數。例如：雖然有“[30÷7=300÷70]”，但卻得不出“[300÷70=4……2]”，這是因為“[300÷70=4……20]”或“[300÷70=42070=427]”。

二、分數概念模型

分數是小學數學的重要內容之一，但由于分數意義的內涵比較豐富，教師可借助與學生熟悉的日常事物及活動有關的各種直觀模型，使學生感受分數在現實生活中的應用，幫助學生建立分數概念模型。

1.區域或面積模型：用面積的“部分——整體”表示分數

區域或面積模型是“部分——整體”的一種表現形式，是連續量中部分與整體之間的關系，是“比率”意義的一種體現。在區域或面積模型中，分數表示的是把一個連續的整體平均分成若干份，取其中的一部分或幾部分與該整體相比較的結果。在一些教材中，分數概念的引入就是通過“平均分”某一圖形，取其中的一份或幾份來認識分數的。圖3就是分數的“區域或面積”的直觀模型，涂色部分的面積占全部圖形面積的[14]。

2.分數的集合模型：用集合的“子集——全集”來表示分數

分數的集合模型是“部分——整體”的另一種表現形式。當全體是離散的量時，分數的意義就是子集和全集的關系，用集合中的“子集”表示部分即分子，“全集”表示整體即分母。在分數的集合模型中，分數表示的是把一個全集平均分成若干組，取其中的一組或幾組與該全集相比較的關系。這里的關鍵是把“1個東西”平均分過渡到把“1個整體”平均分，也就是說“單位1”不再是“1個物體”了，而是把幾個物體看作“1個物體”，作為一個“單位”，所取的“一份”也不是“一個”，可能是“幾個”作為“一份”，其核心是將“多個”物體作為“整體1”（如圖4）。

3.分數的“線段模型”：用分數表示數軸上的一個點或數值

分數的“線段模型”有兩層含義：第一層含義是表明“分數是一個數”。任何兩個標準單位為1的區間，分數是位于區間內的一個點，即一個分數對應一個點，分數是實數集的子集;第二層含義是指分數可以表示線段的長度，是分數的測量意義。如[23]可以表示數軸上的0到1之間的一個點，也可以表示數字線上2個[13]線段的長度。分數的“線段模型”是對分數的區域或面積模型及集合模型的進一步抽象和深化，但分數的“線段模型”更有利于學生理解整數、分數和小數之間的關系。

總之，教師應從多個角度理解分數的概念，真正理解分數的本質，在教學中適當運用分數概念模型，建立數學與外部世界的聯系，提高學生對分數概念的理解，達到培養學生的數學素養及數學思維的終極目標。

（責編 金 鈴）