方格圖在平面圖形面積公式推導中的功能與價值

張卓卿

[摘 要]在平面圖形面積公式的推導中，方格圖是教師經常用到的一種直觀圖，它是數形結合的有效載體。在教學中，方格圖的主要作用并不是教會學生“數”出面積，而是要學生充分利用方格圖發現多種計算平面圖形面積的方法。

[關鍵詞]方格圖;面積公式;功能;價值

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）23-0044-02

人教版教材關于平行四邊形面積公式的推導，首先呈現了一幅方格圖（如圖1）。教材安排這一環節的目的是讓學生在數方格的過程中發現平行四邊形面積和長方形面積之間的關系。讀題后，學生產生疑問：“為什么不滿一格的都按半格計算？這樣數出來的面積是否精確？”很多教師沒有想到這一點，往往一筆帶過，使學生陷入困惑之中。

筆者認為，在平面圖形面積公式的推導中，方格圖的主要作用并不是為了數出面積，而是要充分利用方格圖發現多種計算平面圖形面積的方法。筆者對運用方格圖推導平面圖形面積公式的方法進行了系統梳理，并進行了實踐嘗試，收到了很好的教學效果。

一、方格圖在平面圖形面積公式推導中的功能定位

在人教版教材中，平面圖形面積公式推導的順序是長方形、正方形面積→平行四邊形面積→三角形面積→梯形面積。筆者認為，方格圖在不同平面圖形的面積公式推導中應具有不同的功能定位。

1.在長方形、正方形面積公式推導中的功能定位

學生從“線段長度需要用長度單位進行測量”，很容易聯想到“平面圖形的面積需要用面積單位進行測量”。于是，筆者規定一個1平方厘米的小正方形為1個面積單位，讓學生用若干個這樣的面積單位對一個長5厘米、寬3厘米的長方形進行測量，從而自然形成一張方格圖。通過觀察方格圖，學生發現，“長5厘米”即一行可以擺5個面積單位，“寬3厘米”即一列可以擺3個面積單位，進而輕松發現長與寬的乘積就是長方形所占面積單位的個數，也就是長方形的面積。繼續對多個長方形進行觀察比較，學生發現“長與寬的積等于長方形面積”具有普遍性，由此推導出長（正）方形的面積公式。

如此，在長方形、正方形面積公式推導中，方格圖的主要功能定位在實現從“測量面積”到“計算面積”的過渡。

2.在平行四邊形面積公式推導中的功能定位

在平行四邊形面積公式的推導中，筆者直接呈現圖2（一個方格代表1m2），讓學生想辦法算出平行四邊形的面積。學生清楚地知道，計算面積就是計算面積單位的個數，于是想到了多種方法（如圖3）。

以上四種方法中，第一、二種是數格法的靈活運用，第三、四種是剪拼法。學生比較后發現剪拼法更簡便。接下來，筆者引導學生將原平行四邊形和剪拼后的長方形聯系比較，運用剪拼法順利推導出平行四邊形面積公式。

如此，在平行四邊形面積公式推導中，方格圖的主要功能是實現從“數格法”到“剪拼法”的轉化。

3.在三角形面積公式推導中的功能定位

在三角形面積公式推導中，筆者直接向學生呈現圖4（一個方格代表1m2），讓學生想辦法算出三角形的面積。學生根據推導平行四邊形面積公式的經驗，想到多種剪拼的方法（如圖5）。

在思維的相互碰撞中，學生找到了越來越多的方法。此時，學生的思維是高度興奮的，一些喜歡求異的學生還想到了“倍拼”的方法（如圖6）。

比較以上這兩類方法，學生發現“倍拼法”更簡便。筆者讓學生用倍拼法對直角三角形和鈍角三角形進行研究，成功推導出三角形面積公式。

如此，在三角形面積公式推導中，方格圖的主要功能是實現了從“剪拼法”到“倍拼法”的跨越。

4.在梯形面積公式推導中的功能定位

在梯形面積公式推導中，筆者直接呈現圖7（一個方格代表1m2），讓學生想辦法算出梯形的面積。學生根據推導三角形面積公式的經驗，想到多種剪拼法和倍拼法（如圖8）。

接著，筆者讓學生對沒有方格的多個普通梯形進行操作驗證，從而推導出梯形面積公式。

如此，在梯形面積公式推導中，方格圖的主要功能便在于讓學生靈活運用“剪拼法”和“倍拼法”。

二、方格圖在平面圖形面積公式推導中的價值體現

1.提供直觀數據，增強思維的嚴密性

小學生以形象思維為主，主要是通過觀察來獲得對平面圖形的直觀經驗。平面圖形的轉化建立在熟知各種圖形的特征和它們之間關系的基礎上，而學生對圖形特征及其關系的認識還比較膚淺，這就使得轉化變得困難。方格圖可突顯圖形的特征，使各種圖形之間的聯系更加突出，為平面圖形的轉化提供了直觀參照。

同時，方格圖還為學生直觀地提供各種研究數據。根據小學生的年齡特點，平面圖形面積公式推導以實驗法和不完全歸納法為主，因此教師應充分提供研究數據，盡可能提高推理的可信度，從而增強學生思維的嚴密性。

2.發現多種方法，訓練思維的發散性

根據已有經驗，對于平行四邊形面積公式的推導，學生一開始用數方格的方法來計算面積，但在數的過程中體驗和感悟到用多種剪拼的方法更簡便準確。由此，學生學會了運用化歸思想來解決新問題，使解決問題的策略變得多樣化。

在三角形面積公式推導過程中，方格圖讓學生的思維實現了從“剪拼法”到“倍拼法”的跨越，并讓方法不斷得到優化，有效訓練了學生的發散思維。

3.建立“單位”觀念，滲透數學思想方法

教學中，不管是“數”還是“量”的計算都離不開“單位”觀念。利用方格圖開展平面圖形面積公式的推導，能使學生深刻體會到計算面積就是計算面積單位的個數，使得學生對“單位”觀念的認識更加根深蒂固。當學生遇到計算面積的新問題時，可以回歸本質，從面積單位的角度重新思考解決問題的方法。

例如，教學“不規則圖形的面積”時，學生很自然會想到先用方格圖將不規則圖形轉化成近似的多邊形，再計算面積。又如，教學“圓的面積”時，圓是曲邊圖形，似乎與之前學的平面圖形毫不相干，但學生能從逐步建立的“單位”觀念，聯想到把圓剪成若干個曲邊“單位”——扇形，再重新拼組成一個已經學過的圖形。

總之，在平面圖形面積公式推導過程中，教師應充分挖掘方格圖的最大價值，發揮方格圖的獨特功能，提高學生的數學思維水平，真正實現為發展學生的核心素養而教。

（責編 李琪琦）