2019年全國卷Ⅰ不等式選考試題的探究

福建省福清第三中學 (350315)

何 燈

2019年全國高考數學試卷整體設計上繼續保持平穩，但穩中有變，主觀題的題序均做了動態調整，考查考生靈活應變能力和主動調整適應能力.其中“今年的高考數學有多難”、“維納斯有多高”、“高考數學全國卷考了朵云”等話題引起網友廣泛熱議.

每年高考都會涌現出一些好題，值得我們探究學習.本文擬對全國卷Ⅰ不等式選考試題進行探究，建立原試題加強的雙邊不等式.

試題已知a,b,c為正數，且滿足abc=1.證明：

定理已知a,b,c為正數，且滿足abc=1，則有(∑表示輪換對稱求和)：

證明：式(1)左端不等式等價于∑a3bc-2∑ab+2∑a2bc-3abc≥0，注意到abc=1，則∑a3bc=∑a2，2∑a2bc=2∑a≥∑a+

式(1)右端不等式等價于∑a3bc+2∑ab-6∑a2bc+9abc≥0，注意到abc=1，則只需證明∑a2+2∑ab-6∑a+9≥0，等價于證明(a+b+c-3)2≥0，此為顯然.

式(2)左端不等式等價于∑a2b+∑ab2+2abc-8≥0，由基本不等式得∑a2b≥3abc，∑ab2≥3abc，則∑a2b+∑ab2+2abc-8≥8abc-8=0，從而式(2)左端成立.

式(2)右端不等式等價于∑a3-∑a2b-∑ab2+8-5abc≥0，由于abc=1，則∑a3-∑a2b-∑ab2+8-5abc=∑a3-∑a2b-∑ab2+3abc=∑a(a-b)(a-c)，∑a(a-b)(a-c)≥0，即三次Schur不等式，從而式(2)右端成立.定理得證.