數(shù)學(xué)理解的關(guān)鍵：明晰“為什么”

陸賢彬

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“數(shù)學(xué)理解”無疑是最重要的，它對我們數(shù)學(xué)能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)成績的提高起著基礎(chǔ)性的決定作用.缺少理解的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)往往事倍功半，甚至舉步維艱.我們這里所說的“數(shù)學(xué)理解”主要有三層含義：其一是理解數(shù)學(xué)知識，如數(shù)學(xué)概念、原理、定理及其適用范圍和條件等，用數(shù)學(xué)的眼光去觀察生活和世界，這是知識層面上的;其二是理解數(shù)學(xué)方法，如抽象數(shù)學(xué)概念的方法、發(fā)現(xiàn)或推導(dǎo)數(shù)學(xué)定理的方法、數(shù)學(xué)問題解決的推理方法等，用數(shù)學(xué)的思維去思考生活和世界，這是方法層面上的;其三是理解數(shù)學(xué)思想，建立良好的數(shù)學(xué)觀念，理解數(shù)學(xué)知識體系的結(jié)構(gòu)和發(fā)展?fàn)顩r，用數(shù)學(xué)的語言來表達(dá)生活和世界，這是思想層面的.這三層含義不是獨立的，它們相輔相成，有機地組成“數(shù)學(xué)理解”的價值和意蘊.對于大多數(shù)高中生，知識層面的理解訓(xùn)練較多，而方法層面的理解相對來說尚顯不足，本文就從方法層面，以《解三角形》和《數(shù)列》內(nèi)容為例，探索其中的“為什么”，

一、正弦、余弦定理推導(dǎo)方法的剖析

1.向量方法的剖析

教材上是運用向量方法來證明的，將正弦定理和余弦定理作為“向量運用”的具體案例，這樣處理無疑讓我們理解起來簡單多了.而且通過探索正弦、余弦定理的證明，我們能夠進一步熟悉向量語言表達(dá)幾何問題，向量方法處理幾何問題.這種方法的本質(zhì)在于兩個轉(zhuǎn)化：首先，將“幾何圖形△ABC”轉(zhuǎn)化為向量等式“AB+ BC+CA=0”;然后，應(yīng)用向量的數(shù)量積，將向量等式進行“數(shù)量化”，即通過“數(shù)乘一個垂直于一邊的向量”可得到正弦定理，通過“移項平方”可得到余弦定理，量積，可以得到邊角之間的關(guān)系式;③直角三角形中兩銳角互余，一角的余弦等于另一角的正弦.在此基礎(chǔ)上理解起來就簡單了：在向量等式AB+BC+CA=0的兩邊同時點乘一個與向量BC垂直的向量，即可得到正弦定理.

2.初中幾何方法的剖析

（l）構(gòu)造直角三角形探索正弦定理.

對于銳角△ABC，作AH⊥BC于點H（如圖1），在直角△ABH、直角三角形ACH中，注意到高AH是兩個直角三角形的公共邊，采用“算兩次”的方法，得AH=csin B=bsin C，將邊和所對的角看成同一類，“物以

類聚”，得c/sinC=b/sin B'

二、善用“歸納推理”解決數(shù)列問題

很多同學(xué)認(rèn)為數(shù)列題難.解數(shù)列題的方法很多，而且有些方法不易發(fā)現(xiàn)，甚至老師講后仍難以理解.其實，數(shù)列本身就是“數(shù)站隊”，是一個個“站”出來的，我們可以通過“列舉”的方法進行歸納推理，常常能發(fā)現(xiàn)問題解決的簡單方法.

如求數(shù)列a_n=（8n-25）（8n-33）（8n-44）（1≤n≤7）的最大項.

分析：由于項數(shù)少，可以一一列舉來比較.此方法雖然思路簡單，但計算比較麻煩.由于通項公式具有積的形式，我們可以研究項的正負(fù)性，由a_n>O得n=4，6，7.而a6

在解決問題的過程中，適當(dāng)?shù)剡\用列舉的方法可以簡化解題過程.

分析2 由于等差、等比數(shù)列是我們熟悉的基本數(shù)列，所以解決有關(guān)數(shù)列問題時的一個重要思路是：轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列.為此，我們可以將式子變形。