理解棱柱概念，提高推理能力

陳偉斌

棱柱是一個重要的幾何體，以棱柱為背景的立體幾何問題，是高考命題的熱點，應引起同學們的高度重視.

一、準確理解棱柱的概念

一般地，由一個平面多邊形沿某一方向平移形成的空間幾何體叫做棱柱，

僅僅記住定義不能算理解，在“平移”的過程中形成的兩個底面、側面、側棱有哪些特點呢？這些特點可以看成棱柱的性質：（1）兩個底面是全等的多邊形，且對應邊互相平行;（2）側面都是平行四邊形;（3）側棱平行且相等，還要理解直棱柱、正棱柱的性質，直棱柱除了具有棱柱的性質外還具有：側棱與底面垂直的性質;正棱柱除了具有直棱柱的性質外還具有：底面是正多邊形的性質，還要厘清特殊的四棱柱之間的包含關系：如圖1.

由此可知正四棱柱是平行六面體的一種特殊情況.簡單地說，正四棱柱是長方體的特殊情況，正四棱柱都是長方體（包括正方體和底面為正方形的長方體）.正方體都是正四棱柱，但正四棱柱不都是正方體.長方體都是直四棱柱（底面和側面垂直的四棱柱），但不一定是正四棱柱（長方體底面不一定為正方形）.

例1如圖2所示，已知長方體ABCDA1B1C1D1.

（l）這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？

（2）用平面BCFE把這個長方體分成兩部分后，各部分形成的幾何體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？并指出底面;如果不是，請說明理由.

解析 （l）是棱柱，并且是四棱柱.因為它可以看成由四邊形ADD1A1沿AB方向平移至四邊形BCClB1形成的幾何體，符合棱柱的定義.

（2）截面BCFE右邊的部分是三棱柱BEBl -CFC1，其中△BEB1與△CFC1是底面.截面BCFE左邊的部分是四棱柱ABEA，-DCFDi，其中四邊形ABEA1和四邊形DCFD1是底面.

評注 1.解答本題的關鍵是正確掌握棱柱的幾何特征，本題易出現認為所分兩部分的幾何體，一個是棱柱，一個是棱臺的錯誤.

2.在利用幾何體的概念進行判斷時，要緊扣定義，注意幾何體間的聯系與區別，不要認為底面就是上下位置，如此題，底面也可放在前后位置.

二、正確運用棱柱的條件

l.由棱柱概念可直接推出的結論：

（l）上下底面互相平行;

（2）上下底面是全等的多邊形;

（3）上下底面對應邊平行且相等;

（4）側棱平行且相等;

（5）側面是平行四邊形.

2.直棱柱可推出的結論：側棱垂直于底面.

3.有些結論不能直接推出，需要有中間步驟.例如，直棱柱不可直接推出：側棱垂直于底面的一條直線;側面與底面垂直.

三、突出推理過程的邏輯關系

立體幾何中的邏輯思維能力是以立體幾何中的概念、公理與定理為基本形式，以分析與綜合、抽象與概括、歸納與演繹為主要方法，并能準確運用數學語言進行表達的思維能力.因此，我們在學習中要突出推理過程的邏輯關系，必須注意如下幾點：

1.邏輯段有順序，一個邏輯段出錯，從該段起不得分，并列邏輯段不分順序;

2.推理時也允許同時羅列兩個邏輯段條件，然后一起給出結論;

3.關鍵詞為每個邏輯段的主要條件和結論，在推理證明過程中不可缺少，關鍵詞不容忍字母、數值的差錯.比如“AA.上平面A1B1C1”寫成“AA1⊥平面A1C1”，得0分;“AA1⊥ AlC1”寫成“AA1⊥A1C”，得0分;

4.第（l）小題中已經書寫的條件、結論，作第（2）小題中的關鍵詞時需寫出，或用“由（l）得”替代.在書寫過程中會用“義因為”。