牽牛要牽牛鼻子

常文武

大家平日里解函數方程的題，常感無從下手.要想撥開迷霧，必須認清關鍵條件！那就是如標題所言，“牽牛要牽牛鼻子”.

來看一道題目：

定義在全體實數上的函數f（x）滿足：f（-1）=1/4，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x，y），求f=（-2019）的值.

顯然第二個條件內涵更豐富，它雖然只是一個等式，但是可以一當十，甚至當百當千當萬.因為只要取一些特殊的x，y代人它，就能得到函數在一些點上的特殊值.

可是取什么值呢？

一定要取到與第一個條件有關的值，讓我們試試x=一1，y=0吧？效果不錯啊，我們得到了f（0）=1/2！

你會問，這一對特殊值怎么想到的啊？

無非是聯系到第一個已知條件以及在第二個條件中，等式右邊取y=0時會歸于統一.

當然也可由其它途徑.比如你也可能這么算：令x=y=0，得到4f（0）²=2f（0）.約去一個f（0）就得到同一個答案、f（o）=1/2.不過可得當心，萬一約去的是個O呢？所以穩妥起見還是采用前一個方法.

現在讓我們來擴大戰果吧.

如果只令x=0，會怎樣呢？這次我們得到f（y）=f（-y）.哈哈，原來這是個偶函數啊！f（1）=f（-l）=1/4

仍然會有人問，為何想到令x=0呢？

其實這個想法也是很白然的，因為f（O）經過探索已知其值了嘛！

有了以上的摸索成果，我們可以向目標發起猛攻了！

如何能找到f（-2019）的值呢？

首先利用奇偶性，f（-2 019）=f（2019）.接下來大概遞推可以奏效吧？取y=一1，得到f（x）=f（x+1）+f（x- 1）.這可以轉化為一個遞推式：f（ x） -f（x-1）=f（x+1）.也就是說，前兩項的差等于第三項.這樣的話，我們總算看到了希望.滿足以上遞推式的f在整格點上是個周期的數列：a，b， b-a， -a， - b， a-b，a，b，b-a，-a，-b，a-b，a，…，它的周期為6.所求的（2019）（3） =f（3） =一f（0）=-1/2.

好問的你義會問，怎么想到用遞推來解題呢？

其實第二個條件中x+y和x-y都是在x的基礎上平移了y.提示我們將y取為-1來得出一個遞推式.

問題解完了，可是我們仍然不知道函數f的真面目.好奇的你也許還會問，這個f可有解析式？

我們想到了數值模擬.請看下圖，把一系列的f（n）在Excel中畫出直方圖，發現很像是余弦函數的圖象.于是令f（x）=Acos（ωx）.將f（0）=1/2，周期T=6代人得：f（x） =0.5cos（πx/5）. 驗證一下題設的兩個條件，第一個顯然對了.第二個條件：左邊一右邊.哈哈哈！我們完全猜出來了這個函數的廬山真面目！不過是否還有其他表現形式呢？我們還是不敢打包票！留給讀者繼續探索吧！

總結以上，我們發現嘗試對問題進行求解的過程充滿了艱辛.運氣好的時候，我們可以勢如破竹地前進.運氣不好的時候，也就只能屢敗屢試下去了.只有當你順利牽到了題目的牛鼻子，題目才能迎刃而解。