研讀中考試題·挖掘解題能力·提高課堂效率

閆開波 羅慶明 張立萍

摘要：2018年內蒙古包頭市中考數學試卷第25題，是以動點和折疊為載體，以問題串的形式呈現試題，主要考查學生綜合與實踐的能力，有針對性地提高學生的數學核心素養。此題各個問題之間層層遞進、環環相扣。文章從初中數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗四個維度出發，進行考點分析和思路評析。

關鍵詞：思想方法;解法評析;能力提升;數學素養

內蒙古包頭市歷年中考數學題目總能推陳出新，內容令人耳目一新，思維深度碰撞。特別是第25題圖形變化綜合題，題目靈活多變。2015年以前考查動點問題，2016年考查折疊問題，2017年考查旋轉問題，2018年別出心裁地把動點與折疊問題巧妙地結合在一起。更令人驚訝的是，2018年有的學生的解答過程也是別出心裁，跳出固有思維，通過建立平面直角坐標系，把幾何問題函數化，用解析幾何的方法輕松解答。下面，筆者通過五個板塊來剖析試題、探究解法、提升能力、思考課堂。

一、試題呈現

題目 在矩形ABCD中，AB=3，BC =5，E是AD上的一個動點。

（1）如圖l，連接BD，O是對角線BD的中點，連接OE。當OE= DE時，求AE的長;

（2）如圖2，連接BE，EC，過點E作EF⊥EC交AB于點F，連接CF，與BE交于點G。當BE平分∠ABC時，求BG的長;

（3）如圖3，連接EC，點H在CD上，將矩形ABCD沿直線EH折疊，折疊后點D落在EC上的點D’處，過點D作D’N⊥4D于點Ⅳ，與EH交于點M，且AE=1。

①求 的值;

②連接BE，△D'MH與△CBE是否相似？試說明理由。

二、試題特色

此題是四邊形背景下的動點問題與折疊問題的綜合應用，運用圖形與坐標、圖形與函數、圖形的變換等知識，體現知識與能力并用、思想與方法交融的命題特點，堅持以學生為本，強調能力立意，體現新課程理念;全面考查學生運用所學基礎知識和基本技能分析問題、解決問題的能力，有利于發展學生的創造性;對學生應該具備的基本文化素質和能力進行比較全面的考查;此題重點考查了學生的幾何推理能力，思維層次逐步提升，“幾何味”逐步顯現，梯度合理，區分度較高。邏輯推理是學生發展所需要的重要核心素養之一，本著“核心內容重點考查”的命題指導思想，命題者在這方面有所側重，旨在突出學生的數學思想方法，以及計算能力、知識應用能力等數學素養的考查。

勾股定理、直角三角形斜邊上的中線、相似三角形的判定與性質，都是學生必備的基礎知識和必會的基本技能。但是，能否利用“中點”這一關鍵詞，而且是直角三角形中的“中點”，這是突破這一小題，甚至是這道題的解題關鍵所在。

2.第（2）小題的解答綜合性強，思維縝密，作答多樣，層次感強

（1）第一個切入點：由角平分線出發，利用等腰直角三角形求邊長。

此種方法雖然便于理解，但是卻不容易想到，要求學生數形結合能力強，幾何問題函數化，方法嫻熟，值得學生學習。當然，對于大多數學生而言，最容易想到的還是用三角形相似法去解答。

（2）第二個切入點：再用一次等腰直角三角形EFC求解45°角，便可以運用相似法。

方法2：斜A型圖。

表面上看，證明兩個不相關的三角形相似沒有思路。但是，仔細分析條件，出現了兩條邊長為5的線段，因此出現了等腰三角形，從而打開了解題思路。再利用折疊、互余之間的關系證明另一個等腰三角形，從而得證。

四、反思與提升

第（2）小題解題方法多樣，綜合性強，滲透了數學的基本思想方法和基本技能，值得思考研究。此道小題挖掘題目隱藏內容，合理運用基本圖形，數形結合，轉化明確，使解法自然生成。此題的3道小題層層遞進，第（3）小題達到升華。因此，在九年級綜合復習階段，教師要大膽讓學生去嘗試，讓學生在做中學習，感悟學習過程，這也是讓學生學會學習、學會求知、學會建模的理念?！罢嬲臄祵W題”應該滿足一些基本條件：與重要的數學概念和性質相關，體現基礎知識的聯系性、解題方法的多樣性，具有自我生長的能力等。

五、延伸與拓展

（1）數學是研究數量關系和空間形式的科學。數學是思維的科學，數學育人的基本途徑是對學生進行系統的（邏輯）思維訓練，訓練的基本載體是邏輯推理和數學運算。而推理是數學的根本，運算是數學的基本功。因此，教師要有課程意識。數學課程能使學生掌握必要的基礎知識和基本技能，培養學生的抽象思維和推理能力、創新意識和實踐能力，促進學生在情感、態度與價值觀等方面的發展。那么，如何教好這門課呢？“自主一探究一合作一交流”這樣的教學過程是一種有效的方法.

（2）教師不僅要注重《義務教育數學課程標準（2011年版）》中的知識技能目標，還要注重數學思考、問題解決、情感態度等目標;不僅要注重結果性目標，還要注重過程性目標;不僅要注重“四基”“四能”的培養，還要注重“10個核心概念”的培養。

（3）教師要利用好教材，注重對教材、例題和習題的知識運用的研究。教師要把教材中的例題、練習題通過類比、加工改造、加強條件或減弱條件、延伸或擴展等方式進行變式.通過變條件、變結論、變圖形、變式子、變表達等不同形式，達到夯實基礎知識、掌握基本方法的目的，培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，以及學生綜合運用的能力。

（4）教師不僅要注重培養學生的思維能力，同時還要注重培養學生的動手能力。尤其是運算能力，培養運算能力有助于學生理解運算算理，尋求合理、簡潔的運算途徑來解決實際問題。

（5）教師要注重培養學生的發散思維能力，解題的靈活性，通性、通法的能力，不要以題論題，而要以題論法、以題論道。

總之，在今后的教學中，教師更應該注重學生思維的培養、數學思考的訓練，給學生創設思考的空間，搭好“梯子”，攀登知識的“高峰”，以知識為載體激發學生學習數學的興趣，培養學生刻苦鉆研、永不放棄的精神，提升學生解決數學問題的能力。

參考文獻：

[1]宋春，劉金英，趙國華.研讀中考試題·培養數學素養·提升解題能力：2017年天津市中考第24題的解題研究與反思[J].中國數學教育（初中版），2018（6）.

[2]章建躍.發揮數學的內在力量為學生謀取長期利益[J].數學通報，2013（2）.

[3]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.