動(dòng)中求靜 以靜制動(dòng)

錢小寧

摘要：隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，考查學(xué)生探索推理能力的動(dòng)態(tài)型問(wèn)題不斷涌現(xiàn)，常常有這樣的一類題型，幾何圖形中存在一個(gè)或幾個(gè)變化元素，如點(diǎn)、線段、角的變動(dòng)，會(huì)引起各種數(shù)量的變化。在這變化過(guò)程中，就存在最值問(wèn)題。對(duì)于這類題型，學(xué)生感到很迷茫，無(wú)從下手，找不到解決問(wèn)題的突破口，在考試中常常失分。其實(shí)，對(duì)于這類題型，我們可以從孫子兵法中的以“不變應(yīng)萬(wàn)變，以靜制動(dòng)”的戰(zhàn)略思想得到啟發(fā)，在動(dòng)中尋找不變的元素，緊緊抓住不變?cè)貋?lái)考慮問(wèn)題，就會(huì)達(dá)到驀然回首，那人卻在燈火闌珊處，柳暗花明的效果。下面，以幾種動(dòng)態(tài)問(wèn)題加以淺析，以便學(xué)生掌握一些解決此類問(wèn)題的基本方法和技巧。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題、點(diǎn)動(dòng)、線段線段

一、因點(diǎn)動(dòng)而線段變化問(wèn)題

例、在△ABC中，∠C=90°，AB=1，tanA=3/4，過(guò)AB邊上一點(diǎn)P作PE⊥AC于E點(diǎn)，PF⊥BC于F點(diǎn)，E、F是垂足。則EF的最小值是多少？

分析：因?yàn)镻點(diǎn)是一個(gè)不確定的點(diǎn)，也就是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由于P點(diǎn)的位置不同，垂足E.F的位置也發(fā)生變化，引起線段EF的長(zhǎng)度變化。按照學(xué)生的慣性思維，學(xué)生就會(huì)去尋找P點(diǎn)在AB上什么位置時(shí)，線段EF的值最小，會(huì)掉入這種思維模式中。如果這樣去思考問(wèn)題，就進(jìn)入了死胡同。當(dāng)此路不同時(shí)，我們可以另辟蹊徑，換種思維方式，尋找題目中的不變因素。通過(guò)觀察、分析、思考，我們就不難發(fā)現(xiàn)，不管點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)到何處，四邊形ECFP總是一個(gè)矩形，而且EF總是矩形的一條對(duì)角線，這是不變的因素。但線段EF兩端點(diǎn)還在變化，找不到最小的位置，還是找不到解決問(wèn)題的突破口。但是我們馬上又想到矩形的對(duì)角線相等，不妨連接CP，則CP與EF相等，CP的最小值就是EF的最小值。而CP的最小值就是點(diǎn)C到直線AB的距離。這樣就很容易解決問(wèn)題了。

解：連結(jié)CP

∵PE⊥AC，PF⊥BC

∴∠PEC=∠PFC=90°

又∵∠ACB=90°

∴四邊形ECFP是矩形（有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形）

∴EF=CP（矩形的對(duì)角線相等）

∴當(dāng)CP⊥AB時(shí)，PC的值最小。

∵tanA=3/4

設(shè)BC=3X、AC=4X

∴（3X）2+（4X）2=12

X=1/5

∴ AC=4/5? BC=3/5

∵1/2AC·BC=1/2AB·CP（同一圖形，面積的不同算法）

∴ CP=12/25

則線段EF的最小值為12/25

例，如圖，在⊙O中，已知線段OA，圓周上有一顆移動(dòng)的電燈，電燈處于什么位置時(shí)，OA落在圓周上的影子最長(zhǎng)？

分析：對(duì)于這道題，問(wèn)題是線段OA落在圓周上的影子最長(zhǎng)，學(xué)生必須明白，影子產(chǎn)生的原理，由于光的遮擋而產(chǎn)生的。OA落在圓周上的影子長(zhǎng)就是影子所在的弧長(zhǎng)，由于燈的位置不同所產(chǎn)生的影長(zhǎng)也不同，也就是說(shuō)影子所在的弧長(zhǎng)在變化。燈在什么位從置時(shí)，影子最長(zhǎng)。如果只考慮燈的位置，這道題將無(wú)從下手，百思不得其解。但我們不妨這樣去思考，影子所在的弧最長(zhǎng)時(shí)，燈在什么位置，進(jìn)行倒推。這樣就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求弧最長(zhǎng)的問(wèn)題。同學(xué)們首先應(yīng)該考慮到的是決定弧長(zhǎng)的關(guān)鍵因素什么，又與那些量有關(guān)聯(lián)。我們知道弦越長(zhǎng)所對(duì)的弧也長(zhǎng)。圓周角越大，所對(duì)的弧就越長(zhǎng)。不妨從這兩方面入手，就會(huì)找到解題的抓手。

1、考慮從弧所對(duì)圓周角入手，如圖，把燈抽象為B點(diǎn)，圓周角∠CBA越大，所對(duì)的弧也就越長(zhǎng)，但什么位置最大，會(huì)有很大困難，此路不通。

2、考慮從弧所對(duì)的弦長(zhǎng)入手，如圖，弦CD越長(zhǎng)，所對(duì)的弧也就越長(zhǎng)。弦CD是變量，我們就要尋找不變量，我們發(fā)現(xiàn)，不論電燈在何位置，線段BC是直徑，這是定量，并且所構(gòu)成的三角形是直角三角形，這是不變的事實(shí)，這樣就把變化的問(wèn)題納入到直角三角形中來(lái)討論，問(wèn)題就簡(jiǎn)單化了。在直角三角形中，斜邊一定，一條直角邊越長(zhǎng)，另一條就越短。對(duì)于本題來(lái)說(shuō)，弦CD要最長(zhǎng)，則弦BD就要最短。而弦BD是一條經(jīng)過(guò)圓內(nèi)點(diǎn)A的弦。我們知道經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)有一條最長(zhǎng)的弦，也有一條最短的弦。最短的弦是垂直O(jiān)A的弦，垂足是點(diǎn)A。這樣分析，問(wèn)題就迎刃而解。

解：過(guò)A點(diǎn)做OA的垂線，與圓交于兩點(diǎn)B、D，則電燈在B、D兩點(diǎn)處時(shí)，OA落在圓周上的影子最長(zhǎng)。

二、因點(diǎn)動(dòng)而角變化問(wèn)題

例：如圖，已知線段OA交⊙O于點(diǎn)B，且OB=AB，點(diǎn)P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么∠OAP的最大值是多少？

分析：本題由于點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)，從而引起∠OAP

的變化，同學(xué)們很容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P與O、B在同一條直線上時(shí)，∠OAP值最小，等于零。那么什么時(shí)候∠OAP最大？學(xué)生就會(huì)感到很迷茫。我們不妨不要管變量，而去尋找不變量，本題線段OA是∠OAP的一條不變的邊，雖然PA是一條變化的邊，但我們總可以從圓心O做PA的垂線段，這是不變的事實(shí)，這樣的話就把∠OAP放在一個(gè)變化的直角三角形中。根據(jù)三角函數(shù)中的正弦函數(shù)，斜邊不變，對(duì)邊越大，正弦值越大，這個(gè)角也越大。當(dāng)垂線段最長(zhǎng)時(shí)，∠OAP最大。這樣就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求垂線段最大的問(wèn)題。我們知道垂線段最長(zhǎng)是半徑，也就是直線PA是⊙O的切線時(shí)，p點(diǎn)是切點(diǎn)時(shí)，∠OAP最大。

解：當(dāng)OP⊥PA時(shí)，∠OAP最大。

在Rt△OPA中，

∵ OB=AB，

∴OA=2Op

∴∠OAP=30°

解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題，首先要把握運(yùn)動(dòng)變化全過(guò)程，在“變”中探求“不變”的本質(zhì)，化動(dòng)為靜，分析題中各種圖形的結(jié)合點(diǎn)。在相對(duì)靜止的瞬間，挖掘量與量之間的關(guān)系，找到解決問(wèn)題的途徑。在解答過(guò)程中還要特別注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化等思想方法的靈活使用。

參考文獻(xiàn)：

羅王勇. 動(dòng)靜轉(zhuǎn)換在幾何定值問(wèn)題中的應(yīng)用分析[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊， 2013（2）.