巧用“主元法”解題

李平

摘 要：在解決數學問題的過程中，經過會遇到不止一個字母或變量的情況，這樣的題目很多時候會讓我們覺得無從下手。那么應該從何處入手，能否找到一種行之有效的方法去處理和解決這一類問題呢？下面就介紹“主元法”，對這一類問題進行淺析。

關鍵詞：主元；變量；降冪排列

何為“主元法”？所謂“主元”，顧名思義，當出現的變量或字母個數多于1個時，選取其中一個作為主要的、真正的變量或字母，其余的字母或變量都看作常數，這就是“主元法”。正確使用主元法，能達到減元的目的，使問題化繁為簡。下面，通過幾個例題對此法進行淺析。

一、用“主元法”找函數的定點

例1 已知一次函數 恒過一定點，則這個定點坐標是__________

分析：我們已經習慣把 看作自變量，這里，我們變換角度，把 看成自變量， 看作常量，通過變形得： ，容易看出，當 時，無論 取何值， 的值都為3。因此，這個定點坐標就是（1，3）

二、用“主元法”分解因式

例2 分解因式：（1）

（2）

分析：這兩個題的共同特點都是字母多，我們可以嘗試用“主元法”。

（3）把 看作主元，按照 的降冪排列

原式

（2） 把 看作主元，按照 的降冪排列

原式

三、用“主元法”求代數式的最值

例3 實數 滿足 ， ，則 的最大值是______

分析：由 ，得 ，代入 ，消去 并整理成以 為主元的二次方程 ，因為 為實數，所以判別式 .

即 ，整理得 ，

解得： ，所以 的最大值是

例4 已知 是非負實數，并且滿足 ， ，

設 ， 為 的最小值， 為 的最小值，則

分析：將 作為主元，由已知可求得 ， ，因為

都是非負數，即： ， ， ，所以 且 且 ，解得： 。由 ，得 ，所以 ， ，

四、利用主元法解特殊方程或求值

例5 已知關于 的方程 ，求 的值.

解： 將方程 看作是以 為主元， 為常數的

一元二次方程.

又 ，解得

當 時，代入原方程x2-4x+y2-2y+5=0得：

解得：

五、利用主元法解高次方程

例6 解方程：

解 將方程 看作是以 為主元，

為常數的一元二次方程，整理得：

解得：

即 或

總結：

對于“主元法”的運用，前提是出現1個以上的字母或變量，當選定某一個字母或變量作為主元后，其余的字母或變量就自然成為輔元（這里可以看成常數），這時，需要將式子以選定的主元重新合并，一般是按這個主元的降冪排列。主元法的目的是為了降元或降次，使我們從另一個角度去看問題，也許會更加明了。

參考文獻

[1] 黃東坡《八年級數學培優競賽新方法》[M]湖北人民出版社 2016年6月

[2] 黃東坡《九年級數學培優競賽新方法》[M]湖北人民出版社 2016年6月

[3] 《超級課堂八年級數學》《培優競賽》 [M]華中師范大學出版社 2017年6月

[4] 《超級課堂九年級數學》《培優競賽》 [M]華中師范大學出版社 2017年6月

[5] 《九年級奧數教程》[M]華東師范大學出版社 2018年6月