淺談用數形結合思想解決二次函數問題

劉飛澤

摘 要：二次函數是初中數學的重要內容，也是學習的難點.運用數形結合的思想方法可以使復雜問題直觀化.使學生的抽象思維能力得到發展.也為學生提供了一種簡單解決問題的方法，培養學生自覺運用“數形結合”的數學思想和意識.

關鍵詞：二次函數? 數形結合思想

數學是一門論思想方法的學科，在平時實際教學中思想方法也就蘊含其中.相比較知識的教學而言，數學中的思想與方法的滲透更加重要.要解決學生學習中的難點，行之有效的方法就是在教學中從分運用數形結合的思想方法，借助數形結合的思想方法，加深學生對函數概念的理解;讓學生直觀地理解二次函數性質;加強知識間的橫向聯系.讓學生理解概念，掌握基本的技能，訓練解題的思維是數學的核心與精神.因此，在給學生講解二次函數是注重理解二次函數的概念與思想方法尤為重要.比如說，數學中的數形結合思想，老師可抓住部分典型例題讓學生利用這種思想方法解題，從而在學生腦海里留下比較深的思路.

學生主要存在的困難是對函數概念難以理解，對各類函數中兩個變量的變化關系感覺比較抽象，對函數關系的表示方法不能靈活轉化.要解決學生學習中的難點，行之有效的方法就是在教學中從分運用數形結合的思想方法，通過“數”與“形”的相互轉化，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化.數形結合的思想不斷在幫助我們解決了很多實際問題，比如數軸的學習幫助我們解決了實數大小的比較問題.初中二次函數的學習，數形結合的思想方法進一步得到了滲透并應用，從實際生活中類似于向上拋物運動的軌跡的生活實例引入，例如，噴泉噴出水運動路線，投籃時籃球的運動軌跡.讓學生感知拋物線的美，再到根據性質求最值問題，結合拋物線開口方向判斷最值，判斷自變量x的取值范圍，判斷關于對稱軸兩側的增減性.開始由狹隘、具體、形象的數形結合思想發展到具有一定數形結合思想，能夠融會運用，在具體問題中應用解決.老師在實際教學中可設置一定的問題，啟發學生發現和應用這種思想，激發學習興趣，使學生的思維提高到一定的高度.我認為在實際教學中應注重下列三個環節：

1、讀圖能力

二次函數的圖像及圖像的性質，是教學的重點和難點.要訓練好學生的三種語言表達，即文字語言，圖像語言，符號語言.會看圖，并且會看圖說話，學生難以把握，由于“數”和“形”是一種對應，因此教師可以把“數”的對應———“形”找出來，利用圖像來幫助學生理解二次函數的性質，為學習二次函數的性質奠定好的基礎.通過觀察常數的變化與圖形變化之間的關系，學生從多方面觀察函數圖像的變化，發現“數”與“形”之間的對應規律.由此，學生可以根據任意一個二次函數（如：y=-3x2-3x+3）的表達式，在頭腦中呈現出該函數的大致圖像.同時學生根據函數圖像特征，可以確定表達式中常數的取值情況.在這一過程，學生可體會“數”與“形”之間的轉化，培養學生數形結合的意識.

已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像如下所示，根據圖像構建問題.

a、b、c

及代數式 由拋物線的走勢決定 具體說明

a 由拋物線的開口方向決定 開口向上→a>0

開口向下→a<o

b 由對稱軸x=-b/2a的位置決定 對稱軸在y軸左側→a、b同號

對稱軸在y軸右側→a、b異號

對稱軸是y軸→b=0

c 由拋物線與y軸交點（0，c）的位置決定 與y軸交點在正半軸上→c>o

與y軸交點在負半軸上→c<0

拋物線過原點→c=0

b2-4ac 由拋物線與x軸交點個數決定 與x軸有2個交點→△>o

與x軸有1個交點→△=o

與x軸沒有交點→△<o

2a-b -b/2a與-1比較

2a+b -b/2a與1比較

a+b+c 令x=1，看縱坐標

a-b+c 令x=-1，看縱坐標

4a+2b+c 令x=2，看縱坐標

4a-2b+c 令x=-2，看縱坐標

例1、二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結論：? ①a>0;②c>0;③b2-4ac>0;④b<0，其中正確的個數是

2、選擇能力

例2、解不等式2x2-3x+1﹥0的解集.

（以二次函數y=2x2-3x+1的圖像為條件，位于軸x上方的圖像所對應的所有x即不等式的解集.）

3、轉化能力

運用數形結合思想解決問題歸根到底就是要尋找解題的途徑即解題的金鑰匙，變難為易，變繁為簡.

例3、已知一次函數y=ax+c與y=ax2+bx+c，它們的大致圖象是（? ?）

解決二次函數的實際問題時，注重從“形”到“數”的有機結合.要讓學生潛移默化的應用這種思想解決實際問題，方法往往滲透于知識之中.進一步提高學生的思維水平.

解決二次函數的實際問題時，注重從“形”與“數”的有機結合. 要讓學生潛移默化的應用這種思想解決實際問題.數形結合是將知識轉化為能力的橋，數學疑難復雜問題要清晰化，具體化都離不開數形結合思想的灌輸與運用，教學過程中重視應用數形結合的思想方法.教師在教學中善用，巧用這種思維方法，不僅可以有效幫助學生掌握好知識，使學生的抽象思維能力得到發展.

參考文獻

[1] 張冰.“數”與“形”[J].科技教育，2011，（3）

[2] 楊關.數形結合思想探析[J].陜西財經職業技術學院，2011，（7）

[3]《初中數學新課程標準》（2011版）