重構分數認知過程　智性創生數學概念

徐冬旭

受媒介限制，教材上的數學概念，大都采用了客觀的、靜態的、描述性的方式呈現，這常常會讓學生在對知識的渴求上缺乏新奇感和吸引力。特級教師陳金飛在執教“認識分數”時，創設了“以魚換肉”的教學情境，從起初物與物交換過程中遇到的困難入手，把學習內容以“問題”的形式呈現，化靜為動，化學習過程為研究過程，引導學生在經歷創造分數的同時，主動、智性地建構了數學模型，提升了數學核心素養。

一、創設情境，感悟“分”的要點

師：這節課，我們一起來編故事，學數學。

（播放：古時候，有一個人只會打獵，有一個人只會捕魚）

師：老師扮演打獵的人，你們扮演捕魚的人。

師：（配音）唉，打獵打獵，天天吃肉，吃得我都膩啦。好想吃魚哦！

生：唉，捕魚捕魚，天天吃魚，吃得我都膩啦。好想吃肉啊！

師：要不，咱們換著吃，不妨來個約定。

（出示：2條魚換1塊肉）

師：誰看懂了？

生：2條魚換1塊肉。

師：如果捕到4條魚，應該換給他幾塊肉？

生：2塊。

（屏幕播放：有一天，捕魚的人只抓到1條魚。打獵的人犯愁了，2條魚換1塊肉，我會。可今天只有1條魚，這下怎么換呢？）

生：可以換半塊肉。

師：可我只有1塊肉，怎么辦呢？

生：把肉分一分。

（屏幕演示：把1塊肉分成一大一小2份，小的1份留下。）

生：不對，這樣分到的半塊肉太小了，不公平。

師：應該怎么分，才公平？

生：要平均分，使每份的大小一樣。

（屏幕出示：把1塊肉平均分成5份，其中的1份留下。）

生：還是不對，雖然是平均分了，但是平均分成了5份，而我們是要平均分成2份。

師：看來，不僅要說清楚是平均分，還要說清楚平均分成了2份。你們要其中的1份。這樣說來，需要說清楚幾點？

生：要說清楚3點，平均分，分成2份和要1份。

“歷史相似性原理”告訴我們，學生學習數學的認知過程，與數學史的發展過程相似，學生在學習過程中遇到的困難，古人在創造這一概念時也會遇到。當人類的祖先在度量、分物體的過程當中，不能正好得到整數結果的時候，自然而然地會產生“創造新數”的內在需求，而這正是激發學生思考、創造新數的原點。“以魚換肉”的故事情境，把學生置于主角的地位，引導學生在開放的問題情境中，不斷引發思維沖突，并在解決問題的過程中，漸漸領悟到——要公平地交換物品，必須要說清楚三個要點。這樣，陳老師就巧妙地把一個規定性的數學概念，轉化為了學生主動去探究的數學問題。

二、創造“新”數，建構直觀認知

師：第二天，捕魚的人又捕到了1條魚，該怎么分這塊肉？

生：把這塊肉平均分，分成2份，給他1份。

師：第三天，捕魚的人又捕到了1條魚，該怎么分這塊肉？

生：還是把這塊肉平均分，分成2份，給捕魚的人1份。

師：第四天、第五天、第六天……如果每次都拿1條魚換肉，每次都要說清楚三個要點，讓人感覺怎么樣？

生：很麻煩。有沒有簡單的方法表示出三個要點的？

師：好呀，我們就試一試，看看能不能創造出一種簡單的寫法或畫法，來表示出這三個要點？

（學生在作業紙上嘗試創造新的寫法或畫法，老師巡視）

（學生展示作品如圖1，全班匯報交流）

師：寫出 的同學真厲害，跟數學家想得一模一樣。數學上是這樣規定的，平均分，用短橫來表示;分成2份，2寫在短橫的下面;要1份，1寫在短橫的上面。表示2份中的1份，讀作：二分之一。

師：現在，如果有人問你，“捕魚的，你這1條魚能換幾塊肉呀？”你能用剛創造的數來回答他嗎？

生：1條魚能換塊肉。

師：分圖形也能分出。從桌子上的圖形中找出三角形，你能用折一折、涂一涂的方法表示出嗎？

（學生在等邊三角形紙上操作，各自表示出二分之一）

（全班交流三角形上找到的）

任何概念只有做到了直觀上的理解，才是真正的理解。為了讓學生獲得數學直觀，陳老師從三個方面引導學生主動建構、創造了二分之一。一是借助 “肉”這一直觀實物圖，設計三次的分肉操作活動，看似重復，實則使數學思維在語言的不斷描述中，經歷著數學化的提升;二是引導學生用自己的方法表示三個要點，創造出簡潔的表示方法，把學生的內在思維充分外顯，凸顯了形和數的直觀;三是當學生創造出二分之一后，要求學生在三角形圖片上表示出二分之一，在動手操作中再次達成直觀認知。反復的點化、持續的浸潤，使學生對于數學思想方法內涵的領悟不斷提升，對分數的認識與感悟也在不斷深化。

三、創造分數，深化數學模型

師：今天 ，我們不僅僅是要認識這一個數，而是要認識像這樣的一類數。請大家在桌子上剩下的圖形中，任意找一個圖形，創造出一個與同類的數。

（學生自主選擇長方形、正方形和圓三個圖片中的一個，創造與二分之一同類的新數）

師：你找到的新的數是多少？是怎么找到的？

生：我找到的新數是。我把正方形平均分成4份，涂色部分是。

師：還有誰也找到的？也來展示一下。

（學生展示的作品如圖2）

師：觀察這幾個，它們有什么共同的地方？

生：它們都平均分成了4份，要1份。

師：看來，大家都已經明白的意思了，老師考考你，下面圖形中（如圖3），涂色部分能用表示嗎？

屏幕出示：

？搖？搖？搖

生：第一幅不能用表示，因為不是平均分。

生：第二幅雖然是平均分了，但平均分的份數不是4份，所以也不能用表示。

師：可以用哪個數來表示？

生：可以用來表示。

師：我們又找到了一個新的數，是多少？第三幅呢？

生：第三幅也不能用表示，因為雖然把一個圓平均分成了4份，但涂色的是2份，所以要用來表示。

師：我們又找到了兩個新數。我們還創造了哪些新的數？

師：像這樣的新數還有很多很多，寫也寫不完。仔細觀察，它們有什么共同的地方？

生：這些數都是平均分，都是分成了幾份，要其中的幾份。

師：如果讓你給它們取一個名字，你覺得，取一個怎樣的名字比較合適？

生：幾分之幾數。

生：全分之幾數。

師：全分之幾，是什么意思呢？

生：就是全部的份數中的幾份數。

生：今天學習的新數，都是分出來的，就叫做“分數”吧！

師：這個名取得好，跟數學家的想法不謀而合。

（板書：分數）

師：看看“分”字，是否有所感悟？

生：分字中間有一把刀，好像一個人用刀分東西。

師：說得很形象！看來，數學概念的取名還是很講道理的。

數學學習只有深入到模型的意義中，才是一種真正的學習。陳老師努力地把學生的思維引入一個個具體的事例和情境中，讓他們經歷觀察、操作、交流、分析等過程，在切身參與中，獲得了對概念直觀而深刻地體會與領悟。創造與二分之一同類的分數，既是建構、完善分數模型的過程，也是在創造一個新數基礎上，拓展創造經驗、形成創新能力的過程。富有個性的命名——“幾分之幾數”“全分之幾數”“分數”等，是學生基于自己理解基礎上原生態的、獨特的、個性化的表述，同時也是對分數概念模型建構結果的有效表達。知識，在這里已然成為了促進學生個體成長的極好資源。

（責任編輯：楊強）