“極限思維”在高中物理教學(xué)中的應(yīng)用

趙建輝

摘 要：極限思維法是物理學(xué)中一種常見的科學(xué)思維方法，在物理學(xué)研究和物理解題中有著廣泛的應(yīng)用。在中學(xué)物理教學(xué)過程中，尤其是對(duì)一些運(yùn)算比較的復(fù)雜物理問題的求解，極限思想有其特別的優(yōu)越性，往往可以化繁為簡、化難為易，并且在簡化解題過程的同時(shí)也提高了學(xué)生對(duì)物理知識(shí)和物理規(guī)律、方法的理解和掌握。

關(guān)鍵詞：極限思維;物理概念;物理過程

一、什么是極限思維？

《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中提出，發(fā)展學(xué)生的科學(xué)思維能力是重要的教學(xué)目標(biāo)之一，物理學(xué)科核心素養(yǎng)中的“科學(xué)思維”就包括了模型建構(gòu)、科學(xué)推理、科學(xué)論證和質(zhì)疑創(chuàng)新四部分內(nèi)容，其中科學(xué)推理不僅包括了邏輯上的歸納推理、演繹推理和類比推理，而且還包括分析與綜合、抽象與概括、比較與分類等思維模式，而極限思維又是屬于科學(xué)推理中常見又重要的一種思維模式，高中階段的學(xué)生應(yīng)能正確理解和應(yīng)用此類思維方法。

極限思維是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)方法，是微積分的基本方法。在物理問題中，經(jīng)常會(huì)遇到一個(gè)包含了多個(gè)子過程的復(fù)雜的大過程，如果把這個(gè)復(fù)雜的物理全過程分解成幾個(gè)子過程且這些子過程是單調(diào)變化的，那么選取全過程的兩個(gè)端點(diǎn)及中間的奇變點(diǎn)來進(jìn)行分析，其結(jié)果必然包含了所要討論的物理過程，從而能使問題解決，這就是極限的思維方法。

能夠采用極限法分析的物理過程必須是相關(guān)物理量是單調(diào)變化的，即該物理量隨某個(gè)變量是增函數(shù)或減函數(shù)，否則無法應(yīng)用極限法分析。

按照連續(xù)性原理，把研究的現(xiàn)象或物理過程外推到理想的極限值上加以考慮，使主要因素或問題的本質(zhì)暴露出來，從而得出正確結(jié)論，這種極限方法在物理學(xué)的發(fā)展和物理問題的研究中往往能獨(dú)辟蹊徑、化繁為簡、化難為易，從而達(dá)到事半功倍的作用。

二、極限問題的分類

按照物理過程中研究的相關(guān)物理量（即數(shù)學(xué)函數(shù)中自變量）的變化特點(diǎn)，可把用極限思維法解決的問題分為“無限”問題和“定值”問題。

1、“無限”問題

無限”包括“無限小”和“無限大”兩種情況，即物理過程中相關(guān)物理量的變化達(dá)到“無限小”和“無限大”，亦即“0”與∞”。它是一個(gè)理論上的概念，利用它下的定義恰當(dāng)、確切，但實(shí)際上不能達(dá)到，是理想化。解決實(shí)際問題中，分別以不同的有限作為無限來處理，往往可以除去一些次要因素，從而使復(fù)雜問題簡化，主要因素更明顯和突出。

在物理學(xué)的發(fā)展中，“無限”的極限思維法有著廣泛的應(yīng)用。

（1）在物理概念的引入上：

①運(yùn)動(dòng)物體在某時(shí)刻運(yùn)動(dòng)參量的即時(shí)值其定義就是物體在該時(shí)刻附近的平均值，當(dāng)時(shí)間趨于零（無限小）時(shí)的極限值。如：瞬時(shí)速度v=，瞬時(shí)加速度a=。

【案例1】圓周運(yùn)動(dòng)中向心加速度公式的推導(dǎo)。

如圖所示，質(zhì)點(diǎn)沿半徑為r的圓周做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，線速度大小為v，某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于M點(diǎn)，經(jīng)過時(shí)間，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)，這個(gè)過程中速度變化量為，根據(jù)加速度的定義可知質(zhì)點(diǎn)在這段時(shí)間內(nèi)的平均加速度為：，當(dāng)時(shí)間趨于零時(shí)，圖中的也趨近于零，這時(shí)可近似認(rèn)為弧MN=弦MN，即：，同理：，聯(lián)立可得：，即推導(dǎo)出向心加速度大小的表達(dá)式。

②電磁感應(yīng)中感應(yīng)電動(dòng)勢平均值當(dāng)時(shí)間間隔趨于零（無限小）時(shí)的極限值即為感應(yīng)電動(dòng)勢的瞬時(shí)值，即：e=，從而建立動(dòng)生電動(dòng)勢和感生電動(dòng)勢的聯(lián)系。

（2）在物理過程的分析上

①定義運(yùn)動(dòng)形式

勻速直線運(yùn)動(dòng)、勻變速直線運(yùn)動(dòng)、勻速圓周運(yùn)動(dòng)等都是指在相等時(shí)間內(nèi)某個(gè)量（如位移、速度變化量、弧長等）的變化量相等。這就要求對(duì)“相等時(shí)間”不能有任何限制，包括“無限短”在內(nèi)的“任意相等時(shí)間”，某個(gè)量的變化都相等。但這只是理論上的要求，對(duì)于具體的運(yùn)動(dòng)，依據(jù)運(yùn)動(dòng)的不同情況及研究的不同要求確定一個(gè)“足夠短”的時(shí)間取代“無限短”。如研究短跑運(yùn)動(dòng)時(shí)，選確度為0.01秒的計(jì)時(shí)器，則在每0.01秒內(nèi)位移相等，即認(rèn)為是勻速運(yùn)動(dòng)。

②研究過程的變化

著名的伽利略的理想實(shí)驗(yàn)：如圖所示，兩個(gè)對(duì)接的斜面，讓靜止的小球沿一個(gè)斜面滾下，小球?qū)L上另一斜面， 如果沒有摩擦，小球?qū)⑸仙结尫艜r(shí)的高度。對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行極限拓展可以得到，繼續(xù)減小第二斜面的傾角，小球要經(jīng)過更長的距離才能回到原來的高度，最后使它變成水平面，小球沿水平面做持續(xù)的勻速運(yùn)動(dòng)。

開爾文把理想氣體的等容變化外推到壓強(qiáng)無限小即壓強(qiáng)為零這極限值，而引入了熱力學(xué)溫標(biāo)，并確定低溫的極限值;

萬有引力、庫侖力、分子力均隨距離增大而減小，當(dāng)兩個(gè)物體（或兩個(gè)電荷、兩個(gè)分子）相距無限遠(yuǎn)時(shí)，相互作用力為零，其對(duì)應(yīng)勢能也通常視為零。但在實(shí)際問題中，常有個(gè)習(xí)慣范圍，超過此范圍，相互作用力視為零，勢能也為零。

用伏特表直接測電動(dòng)勢時(shí)，可以設(shè)想在電源兩端接一電阻，伏特表并聯(lián)在電阻兩端測電壓，當(dāng)電阻阻值逐漸增大趨于無限大時(shí)，則形成斷路，可看作伏特表與正、負(fù)極間的“空氣柱”并聯(lián)，測得的是這個(gè)“無限大”電阻上的電壓，即電源電動(dòng)勢，這樣可以剔除對(duì)伏特表用法上的模糊認(rèn)識(shí)。

【案例2】將質(zhì)量為2m的長木板靜止地放在光滑的水平面上，如圖（a）所示，一質(zhì)量為m的小鉛塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）以水平初速度v由木板左端恰能滑至木板的右端與木板相對(duì)靜止，鉛塊運(yùn)動(dòng)中所受的摩擦力始終不變。現(xiàn)將木板分成長度與質(zhì)量均相等的兩段1、2后緊挨著仍放在此水平面上讓小鉛塊仍以相同的初速度v由木板1的左端開始滑動(dòng)，如圖（b）所示，則下列說法正確的是（ ）

A。小鉛塊仍滑到與木板2的右端保持相對(duì)靜止;

B。小鉛塊滑過木板2的右端后飛離木板;

C。小鉛塊滑到木板2的右端前就與之保持相對(duì)靜止;

D。（b）過程產(chǎn)生的熱量少于（a）過程產(chǎn)生的熱量

解析：小鉛塊在木板上滑動(dòng)時(shí)，由于水平面是光滑的，小鉛塊和木板組成的系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒，木板的質(zhì)量越大，小鉛塊在木板上滑行的距離越大，若是木板的質(zhì)量無窮大，則鉛塊最終的速度為零，其動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為熱，而沒有動(dòng)能轉(zhuǎn)移到木板上，這說明了長木板的質(zhì)量越大，獲得的動(dòng)能越小;質(zhì)量越小，獲得的動(dòng)能越大，在（b）圖中小鉛塊在木板1上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情況與（a）中的情況完全相同，小鉛塊滑上木板2后，由于木板2的質(zhì)量變小，移到木板2上的動(dòng)能多于（a）中的情況，那么小鉛塊與木板2相對(duì)靜止時(shí)的速度比（a）中的大，系統(tǒng)損失的動(dòng)能小于（a）中損失的動(dòng)能。此過程中損失的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為熱，故小鉛塊滑到木板2的右端前就與之保持相對(duì)靜止，（b）過程產(chǎn)生的熱量少于（a）過程產(chǎn)生的熱量，所以選項(xiàng)C、D正確。

【案例3】將一標(biāo)有“6.0V，3.0w樣的小燈泡甲接到某字源兩端時(shí)，小燈泡恰好正常發(fā)光。如果將另一標(biāo)有“6.0V，6.0W電字樣的小燈泡乙接在同一電源上時(shí)，實(shí)際的功率可能為（）（設(shè)電源的電動(dòng)勢、內(nèi)阻均為定值，小燈泡燈絲電阻隨溫度的變化忽略計(jì)）

A.1.0W B.2.0W C.5.5W D.8.0W

解析：本題如果采用常規(guī)解法，則過程如下：根據(jù)條件可求出兩燈泡工作電阻分別為R1=12.0Ω，R2=6.0Ω，電源電動(dòng)勢E、內(nèi)阻r與燈泡相連，其輸出功率為：

接乙燈泡時(shí)有：，其中P1、R1、R2均已知。

設(shè)r≈0，則得P2=6.0W;若當(dāng)r>>R1、R2時(shí)，則有：

即乙燈泡實(shí)際功率可能在1.5W～6.0W之間。

若采用極限思維進(jìn)行分析，則是：若電源換接燈泡乙時(shí)，電源的路端電壓、輸出電流的變化，決定于電源電動(dòng)勢E和內(nèi)電阻r，為求出此時(shí)小燈泡乙消端情耗的實(shí)際功率范圍，我們可以根據(jù)E、r搭配方式中的兩種極端情況進(jìn)行推理：

①假設(shè)電源理想情況r→0，這時(shí)電源路端電壓等于電動(dòng)勢，則：U2=6.0V，這是恒壓源情況，此時(shí)P2=6.0W（額定功率）。

②假設(shè)r→∞，此時(shí)電路中電流為一定值，這是恒流源情況，接入乙燈泡時(shí)，電路中電流為0.50A，故乙燈泡消耗的實(shí)際功率為：1.5W。可知選項(xiàng)BC正確。

2、“定值”問題

“定值”是指被研究的物理過程中相關(guān)物理量的變化可以達(dá)到或趨近某一確定的值，它可以是過程的端點(diǎn)，也可能是奇變點(diǎn)，通過物理過程的極端分析暴露問題的實(shí)質(zhì)，從而得出正確的結(jié)論。

例如：從高山上平拋物體，發(fā)現(xiàn)平拋速度越大物體落點(diǎn)越遠(yuǎn)，那么當(dāng)平拋初速度增大到一定值時(shí)物體就會(huì)落到無限遠(yuǎn)處，也就是物體不落回地球，其運(yùn)動(dòng)軌跡將與地球表面平行而做圓周運(yùn)動(dòng)成為衛(wèi)星。

再比如：研究凸透鏡成實(shí)像，物像間距的變化時(shí)即可采用極限法：當(dāng)物趨近焦點(diǎn)f或無限遠(yuǎn)處時(shí)，物像間距可視為無窮大，而當(dāng)物距為2f時(shí)物像間距確定值為4f，此時(shí)達(dá)最小值。這樣物體當(dāng)物距逐漸減小（開始時(shí)物距很大），物像間距將先減小后增大，這里u=2f即為物像間距的奇變點(diǎn)，這種奇變點(diǎn)分析還有很多，如分子間距改變時(shí)分子勢能的變化等。

【案例4】如圖所示，甲、乙兩個(gè)光滑斜面的高度相同，乙斜面的總長度與甲斜面的長度相等，只是由兩部分組成（先傾角大后傾角小），將兩個(gè)相同的小球從兩斜面頂端由靜止同時(shí)釋放，不計(jì)乙斜面拐角處能量損失，哪個(gè)小球先到達(dá)底端？

解析：此題中兩個(gè)斜面的不同點(diǎn)就是乙斜面由兩部分組成，但是可以把甲斜面看作乙斜面的特例，也就是將乙斜面兩部分分界處的夾角θ看成是在180°與90°之間變化，當(dāng)θ=180°時(shí)就是甲斜面，當(dāng)θ=90°時(shí)就是圖丙所示的情形了。由（甲）圖可得：又：

對(duì)比以上兩個(gè)結(jié)果，由于L>h，所以t1>t，而圖乙是中的一個(gè)連續(xù)變化點(diǎn)，故乙球先到達(dá)底端。

本題應(yīng)用常規(guī)的方法確定兩物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系是比較困難的。但是對(duì)于乙斜面中兩部分交界處的夾角θ可看作在180°與90°之間變化，然后取其極端“定值”即90°、180°確定時(shí)間關(guān)系，再根據(jù)連續(xù)變化原理，就可得出中間點(diǎn)（乙）圖的時(shí)間了，從而使本題順利求解。由此看出，采用極限分析法要求物理量或過程的連續(xù)變化。

三、小結(jié)

在高中物理教學(xué)和解題中，經(jīng)常會(huì)涉及到極限思維，極限思維的實(shí)用性在于抓住題干中某個(gè)過程的奇變點(diǎn)和兩端的定位，選取某個(gè)變化的物理量，按照物理過程的變化將該物理量推到極限情況，從而可以把隱蔽的各種可能性或者臨界狀態(tài)暴露出來，使得問題明朗化，物理解題趨于簡單化和簡潔化，學(xué)生能夠從復(fù)雜的物理情境中尋找到正確的價(jià)值信息、解答方法，從而應(yīng)用極限思想法進(jìn)行分析、推理、解題。

參考文獻(xiàn)

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