如何在高三數學復習中進行高效教學

王家強

在高三數學復習中，如何通過一個典型例子的解題教學，達到讓學生學會編制“一張知識網”網絡所有相關的知識，達到觸類旁通，舉一反三，以少勝多的教學效果，盡量減輕給學生繁重學習負擔，提高教學效率的最佳途徑。下面試圖通過一道有關弦長公式的運用的例子的教學來說一說自己在這方面的做法和體會，與同行商榷。

摘選自2016年全國卷卷II的第23題：在直角坐標系中，圓C的方程為.

（I）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程;

（II）直線l的參數方程是（t為參數），l與C交于A、B兩點，，求l的斜率.

分析1：這道題目的第一問比較基礎，主要考察直角坐標和極坐標的互相轉化，絕大多數同學都能正確寫出答案來，如下：

【解析】（Ⅰ）圓的極坐標方程為.

分析2：這道題目的教學應該放在的第二個問題的教學上，選擇這道題目的目的也主要是看中第二問簡單明了，適合自己的學生目前的學習水平，易于開展深入性復習教學，通過這一題的教學讓學生很好地把有關“弦長”的算法“一網打盡”，真正達到復習的高效教學如下：

（教師）設問1：直線l的參數方程告訴我們這條直線的有什么“特征”？請同學來表達自己的理解。

學生1很快就回答：經過原點且傾斜角為的一條直線。

設問2：這樣的直線你們還能夠用其它形式的方程來表示嗎？

學生2經過思考、討論，覺得答案很多，發現這條直線還可以有這么一些形式方程來表示：

面對學生給出五花八門的答案，我微信著不可置否。

（繼續問學生）設問3：大家來共同思考：以上答案都對嗎？你們個人有什么意見補充？（學生陷入思考和討論）

學生3：我認為①答案不一定正確的，因為它有可能表示一條與x軸垂直的直線，這時斜率不存在，無法表示成y=kx或這個形式，應該分斜率存在或者不存在兩種情形處理。

學生4：方程②的表達欠完整，應該再附上這個條件

同學們思考得嚴密周到，也表達完整無缺！

設問4：題目條件中也就是弦長已知，那么大家想一想，|AB|可以有怎樣表達？

學生1：直線與圓相交所得的弦長，d是圓心到直線的距離，跟k有直接關系：

解法一：圖像分析可知直線的斜率一定是k，則直線的方程為，由垂徑定理及點到直線距離公式知：，即，整理得

學生2：聯系，決定用直線的標準參數方程進行解題

解法二、將直線l的參數方程是（t為參數）代入圓的方程中得：

設A、B兩點對應的參數分別t1、t2是則由韋達定理得

學生3：由于A、O、B三點共線，故可以考慮采用極坐標系中弦長公式

解法三、直線將直線l的參數方程是（t為參數）化為極坐標方程為，再代入圓極坐標方程，得：

設點

學生4：聯系到以前學的弦長公式求解

解法四、由圖像可知直線的斜率k一定存在，故設直線l的方程是y=kx，點

則由

兩邊平方，化簡得：

學生5：幾何方法。數形結合，作出圖形如下，利用傾斜角與斜率關系，

轉化為解直角三角形，但注意斜率可以是正負的：

如圖，中，由勾股定理得

變式訓練：在直角坐標系中，直線的參數方程是（t為參數），直線與曲線相交于A、B兩點，點Q的坐標是（2，1），求的變化范圍。

通過一道難度中等偏下的高考選做題作為例題教學及一道變式訓練，啟發學生對它進行多維思考，有機地將學生學過的一些有關弦長公式糅合一起，進行系統復習。采取這樣的復習教學方式，比較適合我們任何一所的普通高中學生目前的數學水平和思維能力，比起一堂課洋洋灑灑講好多題的滿堂灌的解題教學，這樣教學更能充分調動學生思考問題解決問題的積極性，突出學生主體地位和老師的輔助作用，培養學生發散思維，觸類旁通，因而效果也比較理想。提倡在高三復習中進行這樣目的明確的微專題復習——盡量把教學要求設計達到大多數同學“跳一跳，就能摘到果實吃”，這樣的課才有生機，充滿活力！